《2025年一遍过九年级数学下册冀教版》

9 [2024泸州中考]如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE + ∠BCD = 236°，则∠E = （ ）

A. 56°
B. 60°
C. 68°
D. 70°

答案： C@@连接 $AD$，因为四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，所以 $\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$，因为 $\angle BAE+\angle BCD = 236^{\circ}$，所以 $\angle EAD=\angle BAE-\angle BAD=\angle BAE+\angle BCD-(\angle BAD+\angle BCD)=236^{\circ}-180^{\circ}=56^{\circ}$，因为 $EA$，$ED$ 是 $\odot O$ 的切线，根据切线长定理得 $EA = ED$，所以 $\angle EAD=\angle EDA = 56^{\circ}$，所以 $\angle E = 180^{\circ}-\angle EAD-\angle EDA = 180^{\circ}-56^{\circ}-56^{\circ}=68^{\circ}$。

10 [2023邯郸期末]如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧密地放在同一平面内，使点D，C，B在一条直线上，且DC = 2BC，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的锐角的度数是 （ ）

A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 50°

答案：
A@@如图，连接 $OA$，因为 $CD = 2OC = 2BC$，所以 $OC = BC$，因为 $\angle ACB = 90^{\circ}$，即 $AC\perp OB$，所以 $OA = BA$，$AC$ 是量角器圆弧所在圆的切线，所以 $\angle AOC=\angle ABC = 60^{\circ}$，因为 $AE$ 是量角器圆弧所在圆的切线，$OE$ 是半径，所以 $\angle AEO = 90^{\circ}$，所以 $\angle AEO=\angle ACO = 90^{\circ}$，因为 $AE$，$AC$ 是量角器圆弧所在圆的切线，所以 $\angle EAO=\angle CAO$（圆外一点与圆心的连线平分由该点所作圆的两切线的夹角），所以 $\angle AOE=\angle AOC=\angle ABC = 60^{\circ}$，所以 $\angle EOD = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$。

11 [2024保定期末]如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，连接BD，CD. 给出下列结论：①∠BAD = ∠CAD；②若∠BAC = 50°，则∠BEC = 130°；③若G为BC的中点，则∠BGD = 90°；④BD = DE. 其中正确结论的个数是 （ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案：
C@@因为点 $E$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，所以 $AD$ 平分 $\angle BAC$，所以 $\angle BAD=\angle CAD$，故①正确；如图，连接 $BE$，$CE$，因为点 $E$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，所以 $\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB$，因为 $\angle BAC = 50^{\circ}$，所以 $\angle ABC+\angle ACB = 130^{\circ}$，所以 $\angle EBC+\angle ECB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=\frac{1}{2}\times130^{\circ}=65^{\circ}$，所以 $\angle BEC = 180^{\circ}-(\angle EBC+\angle ECB)=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$，故②不正确；因为 $\angle BAD=\angle CAD$，所以 $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}$，所以 $BD = CD$，因为 $G$ 为 $BC$ 的中点，所以 $DG\perp BC$，所以 $\angle BGD = 90^{\circ}$，故③正确；因为点 $E$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，所以 $BE$ 平分 $\angle ABC$，所以 $\angle ABE=\angle CBE$，因为 $\angle DBC=\angle CAD=\angle BAD$，所以 $\angle DBC+\angle EBC=\angle EBA+\angle EAB$，所以 $\angle DBE=\angle DEB$，所以 $DB = DE$，故④正确。综上所述，正确的结论是①③④，共 $3$ 个。

12 [新趋势·数学文化][2023南通长江中学期末]在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为______步.

答案： 6@@连接 $OE$，$OF$，由题意得 $OE\perp BC$，$OF\perp AC$，$EC = FC$，$AD = AF$，$BD = BE$，所以四边形 $OECF$ 是正方形，所以 $OE = OF = EC = CF$，且由题意，得 $AB=\sqrt{8^{2}+15^{2}} = 17$（步），则 $AC + BC-AB = 2OE = 8 + 15-17 = 6$（步），故该内切圆的直径为 $6$ 步。 **名师点睛** 此题考查了三角形的内切圆与内心，在 $Rt\triangle ABC$ 中，两直角边长分别为 $a$，$b$，斜边长为 $c$，其内切圆的半径 $r=\frac{a + b - c}{2}$。

[变式][2024衡水桃城区期末]如图，已知⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC = 6，AC = 8，AB = 10，则点A到圆上的最近距离为________.

答案：
2\sqrt{10}-2@@连接 $IA$，设 $AC$，$BC$ 分别切 $\odot I$ 于点 $E$，$D$，连接 $IE$，$ID$，如图。因为 $BC = 6$，$AC = 8$，$AB = 10$，所以 $BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，所以 $\angle C = 90^{\circ}$。因为 $\odot I$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆，所以 $\angle IEC=\angle IDC = 90^{\circ}$，$IE = ID$，所以四边形 $IDCE$ 是正方形，设它的边长是 $x$，则 $IE = EC = CD = ID = IH = x$，所以 $AE = 8 - x$，$BD = 6 - x$，由切线长定理可得 $AH = 8 - x$，$BH = 6 - x$，而 $AH + BH = 10$，所以 $8 - x+6 - x = 10$，解得 $x = 2$，所以 $AH = 6$，$IH = 2$，所以 $IA=\sqrt{AH^{2}+IH^{2}} = 2\sqrt{10}$，所以点 $A$ 到圆上的最近距离为 $2\sqrt{10}-2$。

13 [2023石家庄期末]如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆，过点D作DE切半圆O于点F，交BC于点E，正方形的边长为2，则阴影部分的面积为________.

答案： 1.5@@因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $AD\perp AB$，$BC\perp AB$，$\angle C = 90^{\circ}$，又因为 $OA$，$OB$ 是半圆 $O$ 的半径，所以 $AD$，$BC$ 是半圆 $O$ 的切线，因为 $DE$ 切半圆 $O$ 于点 $F$，交 $BC$ 于点 $E$，所以 $BE = EF$，$AD = DF = 2$，设 $CE = x$，则 $BE = EF = 2 - x$，$DE = DF + EF = 4 - x$，在 $Rt\triangle CDE$ 中，$DE^{2}=CE^{2}+CD^{2}$，所以 $(4 - x)^{2}=x^{2}+2^{2}$，解得 $x = 1.5$，所以 $CE = 1.5$，所以阴影部分的面积为 $S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}CD\cdot CE=\frac{1}{2}\times2\times1.5 = 1.5$。

14 如图，在△ABC中，内切圆⊙I与AB，BC，CA分别切于点F，D，E，连接BI，CI，FD，ED.
（1）若∠A = 60°，求∠BIC与∠FDE的度数；
（2）若∠BIC = α，∠FDE = β，试猜想α与β的数量关系，并证明你的结论.

答案： 解：
(1) 因为 $\odot I$ 是 $\triangle ABC$ 的内切圆，所以 $\angle IBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle ICB=\frac{1}{2}\angle ACB$，所以 $\angle IBC+\angle ICB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$。 又因为 $\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A = 120^{\circ}$，所以 $\angle IBC+\angle ICB = 60^{\circ}$，所以 $\angle BIC = 180^{\circ}-(\angle IBC+\angle ICB)=120^{\circ}$。 如图，连接 $IF$，$IE$，因为 $\odot I$ 是 $\triangle ABC$ 的内切圆，所以 $\angle IFA=\angle IEA = 90^{\circ}$。 又因为 $\angle A = 60^{\circ}$，所以 $\angle FIE = 360^{\circ}-\angle IFA-\angle IEA-\angle A = 120^{\circ}$，所以 $\angle FDE=\frac{1}{2}\angle FIE = 60^{\circ}$。
(2) 猜想：$\alpha = 180^{\circ}-\beta$。证明如下： 由
(1) 知 $\angle FIE = 180^{\circ}-\angle A$。 因为 $\angle FIE = 2\angle FDE$，所以 $\angle A = 180^{\circ}-2\angle FDE = 180^{\circ}-2\beta$。 因为 $\angle BIC = 180^{\circ}-(\angle IBC+\angle ICB)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$，所以 $\angle BIC=\alpha = 90^{\circ}+\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\beta)$，即 $\alpha = 180^{\circ}-\beta$。