《2025年一遍过九年级数学下册冀教版》

3 [2024黑龙江龙东地区中考]如图，抛物线$y=-x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，其中$B(1,0)$，$C(0,3)$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点$P$，使得$\triangle APC$的面积最大. 若存在，请直接写出点$P$坐标和$\triangle APC$面积的最大值；若不存在，请说明理由.

答案：
解：（1）将$B(1,0)$，$C(0,3)$的坐标分别代入$y = -x^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}-1 + b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -2\\c = 3\end{cases}$，所以$y = -x^{2}-2x + 3$。@@（2）存在一点$P$，使$\triangle APC$的面积最大，此时点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，$\triangle APC$的面积最大值为$\frac{27}{8}$。解法提示：对于$y = -x^{2}-2x + 3$，令$y = 0$，则$-x^{2}-2x + 3 = 0$，解得$x_{1} = -3$，$x_{2} = 1$，所以$A(-3,0)$，所以$OA = 3$。因为$C(0,3)$，所以$OC = 3$。过点$P$作$PE\perp x$轴于点$E$，设$P(x,-x^{2}-2x + 3)$，且点$P$在第二象限，所以$OE=-x$，$AE = 3 + x$，$S_{\triangle APC}=S_{\triangle APE}+S_{梯形PCOE}-S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AE\cdot PE+\frac{1}{2}(OC + PE)\cdot OE-\frac{1}{2}OA\cdot OC=\frac{1}{2}(3 + x)(-x^{2}-2x + 3)+\frac{1}{2}(3 - x^{2}-2x + 3)(-x)-\frac{1}{2}\times3\times3 = -\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}$，因为$-\frac{3}{2}\lt0$，所以当$x = -\frac{3}{2}$时，$S_{\triangle APC}$有最大值，最大值为$\frac{27}{8}$，此时点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$。

4 如图1，已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$经过$A(-3,0)$，$B(1,0)$，$C(0,3)$三点，其顶点为$D$，对称轴是直线$l$，且$l$与$x$轴交于点$H$.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)若点$P$是该抛物线的对称轴$l$上一个动点，求$\triangle PBC$周长的最小值.
(3)如图2，若$E$是线段$AD$上的一个动点（$E$与$A$，$D$不重合），过点$E$作平行于$y$轴的直线交抛物线于点$F$，交$x$轴于点$G$，设点$E$的横坐标为$m$，$\triangle ADF$的面积为$S$.
- ①求$S$与$m$之间的函数表达式.
- ②$S$是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点$E$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 解：（1）由题意可知$\begin{cases}9a - 3b + c = 0\\a + b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = -2\\c = 3\end{cases}$，所以该抛物线的表达式为$y = -x^{2}-2x + 3$。@@（2）$\triangle PBC$的周长为$PB + PC + BC$，因为$BC$是定值，所以当$PB + PC$最小时，$\triangle PBC$的周长最小。因为点$A$、点$B$关于抛物线的对称轴$l$对称，所以连接$AC$，交$l$于点$P$，此时$\triangle PBC$周长最小。因为$AP = BP$，所以$PB + PC + BC = AC + BC$。因为$A(-3,0)$，$B(1,0)$，$C(0,3)$，所以$AC = 3\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{10}$，所以$\triangle PBC$周长的最小值是$3\sqrt{2}+\sqrt{10}$。@@（3）①因为抛物线$y = -x^{2}-2x + 3$的顶点$D$的坐标为$(-1,4)$，$A(-3,0)$，所以直线$AD$的表达式为$y = 2x + 6$。因为点$E$的横坐标为$m$，所以$E(m,2m + 6)$，$F(m,-m^{2}-2m + 3)$，所以$EF=-m^{2}-2m + 3-(2m + 6)=-m^{2}-4m - 3$，$S = S_{\triangle DEF}+S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}EF\cdot GH+\frac{1}{2}EF\cdot AG=\frac{1}{2}EF\cdot AH=\frac{1}{2}(-m^{2}-4m - 3)\times2=-m^{2}-4m - 3$，即$S = -m^{2}-4m - 3(-3\lt m\lt -1)$。②存在。因为$S = -m^{2}-4m - 3=-(m + 2)^{2}+1(-3\lt m\lt -1)$，所以当$m = -2$时，$S$最大，且$S_{最大}=1$。此时，点$E$的坐标为$(-2,2)$。