《2025年一遍过九年级数学下册冀教版》

1 [2024石家庄长安区一模]如图，已知P是⊙O外一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点M. 下面是琪琪给出的两种作法.
作法Ⅰ：如图1，作线段OP的垂直平分线交OP于点G；以点G为圆心，GP的长为半径画弧交⊙O于点M，作直线PM. 直线PM即为所求.
作法Ⅱ：如图2，连接OP，交⊙O于点B，作直径BC，以O为圆心，BC的长为半径作弧；以P为圆心，OP的长为半径作弧，两弧相交于点D，连接OD，交⊙O于点M，作直线PM. 直线PM即为所求.
对于琪琪的两种作法，下列说法正确的是（ ）

A. 两种作法都正确
B. 两种作法都错误
C. 作法Ⅰ正确，作法Ⅱ错误
D. 作法Ⅱ正确，作法Ⅰ错误

答案： A

2 [2024廊坊十六中月考]如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A，OA = 2AP. 甲、乙两人想作一条过点P与⊙O相切的直线，其作法如下.
甲：以点A为圆心，AP的长为半径画弧，交⊙O于点B，则直线BP即为所求.
乙：取线段OP的中点M，以点M为圆心，OM的长为半径画弧，交⊙O于点B，则直线PB即为所求.
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）

A. 甲正确，乙错误
B. 甲错误，乙正确
C. 两人都正确
D. 两人都错误

答案： B

3 [2024吉林中考]图1、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点. 点A，B，C，D，E，O均在格点上. 图1中已画出四边形ABCD，图2中已画出以OE的长为半径的⊙O. 只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图.
（1）在图1中，画出四边形ABCD的一条对称轴；
（2）在图2中，画出经过点E的⊙O的切线.

答案：
- （1）（画法不唯一）如图1，取格点E，F，作直线EF，则直线EF即为所求。易证明四边形ABCD是矩形，且E，F分别为AB，CD的中点。 - （2）如图2，取格点G，H，作直线GH，则直线GH即为所求。易证明四边形OGTH是正方形，点E为正方形OGTH的中心，则OE⊥GH。

4 用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法：
（1）在图1中，已知⊙O₁，点P在⊙O₁上，过点P作⊙O₁的切线l₁；
（2）在图2中，已知⊙O₂，点Q在⊙O₂外，过点Q作⊙O₂的切线l₂.

答案：
- （1）如图1，切线l₁为所作。 - （2）如图2，切线l₂(l₂')为所作。!

5 如图是由小正方形组成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
（1）画出该圆的圆心O；
（2）画出格点E，连接EA，使EA为⊙O的一条切线，并画出过点E的另一条切线EF，切点为F.

答案：
- （1）如图1，点O即为所求。 - （2）如图2，直线AE，EF即为所求。解法提示：由图2易知△CBA≌△AHE(SAS)，所以∠CAB = ∠AEH。因为∠EAH + ∠AEH = 90°，所以∠EAH + ∠CAB = 90°，所以∠CAE = 90°，即OA⊥AE，所以EA为⊙O的一条切线。取格点P，Q，连接PQ，交网格线于点J，连接AJ交⊙O于点F，易得OE⊥AJ，进而可知点F与点A关于OE对称，则EF为⊙O的另一条切线。!