《2025年一遍过九年级数学下册冀教版》

6 [教材P42T1变式][2023衡水模拟]某水利工程公司开挖的沟渠蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）. 某学习小组探究之后得出下列结论，其中正确的为 （ ）



A. $AB = 24\ m$
B. 池底所在抛物线的表达式为$y = \frac{1}{25}x^{2} - 5$
C. 池塘水深最深处到水面$CD$的距离为3.2 m
D. 若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的$\frac{1}{3}$

答案： 由题图可知$AB = 15 - (-15)=30(m)$，故选项A错误；设池底所在抛物线的表达式为$y = ax^{2}+bx + c$，将点$A(-15,0)$，$B(15,0)$，$P(0,-5)$的坐标分别代入抛物线的表达式中，得$\begin{cases}0 = (-15)^{2}a+(-15)b + c\\0 = 15^{2}a + 15b + c\\-5 = c\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{45}\\b = 0\\c = -5\end{cases}$，所以池底所在抛物线的表达式为$y = \frac{1}{45}x^{2}-5$，故选项B错误；池塘水深最深处为点$P(0,-5)$，$y_{C}=\frac{1}{45}\times(-12)^{2}-5 = -1.8$，所以池塘水深最深处到水面$CD$的距离为$-1.8 - (-5)=3.2(m)$，故选项C正确；若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，将$x = 6$代入表达式，得$y = \frac{1}{45}\times6^{2}-5=\frac{4}{5}-5 = -\frac{21}{5}$，所以池塘水深最深处到水面的距离为$-\frac{21}{5}-(-5)=0.8(m)$，而原池塘水深最深处到水面的距离为$3.2m$，所以若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的$\frac{1}{4}$，故选项D错误。

7 [新情境][2024长春三模]图1是一种神奇的鱼——射水鱼，当猎物进入视野后，它便会将头露出水面，合上鱼鳃，从嘴里射出抛物线形水柱，将猎物击落，已知水柱在离发射点水平距离为2 dm处达到最大高度9 dm. 现有一条射水鱼在水面的点$A$处，如图2，昆虫与点$A$的水平距离为2 dm，距离水面的高度为5 dm，射水鱼需要向右游动________dm才能击中昆虫.

答案： 以点$A$为坐标原点，水面为$x$轴，竖直方向为$y$轴建立平面直角坐标系，设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 2)^{2}+9$，将$(0,0)$代入，得$4a + 9 = 0$，解得$a = -\frac{9}{4}$。所以抛物线的函数表达式为$y = -\frac{9}{4}(x - 2)^{2}+9$，令$y = 5$，则$-\frac{9}{4}(x - 2)^{2}+9 = 5$，解得$x_{1}=\frac{10}{3}$（舍去），$x_{2}=\frac{2}{3}$，$2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$。所以射水鱼需要向右游动$\frac{4}{3}dm$才能击中昆虫。

8 [新考法][2024石家庄外国语教育集团期末]小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡抛一乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同. 小强在地面立一块高度为0.4 m的木板$CD$，以斜坡底端$O$为坐标原点，地面水平线为$x$轴，取单位长度为1 m，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点$A$的坐标为( - 1,3.36)，第一次弹起的运行路线最高点坐标为( - 0.5,3.61)，第二次弹起的最大高度为1.21 m.
(1)乒乓球第一次落地点$B$距斜坡底端$O$的距离是______m；
(2)为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端$O$的最小距离是__________m.

答案：
(1) 乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为$(-0.5,3.61)$，过点$A(-1,3.36)$，所以设第一次运行路线所在的抛物线表达式为$y_{1}=a(x + 0.5)^{2}+3.61$。将点$A(-1,3.36)$的坐标代入，得$3.36 = a(-1 + 0.5)^{2}+3.61$，解得$a = -1$，所以$y_{1}=-(x + 0.5)^{2}+3.61$，令$y_{1}=0$，则$-(x + 0.5)^{2}+3.61 = 0$，解得$x_{1}=1.4$，$x_{2}=-2.4$（舍去），所以$OB = 1.4m$，即乒乓球第一次落地点$B$距斜坡底端$O$的距离为$1.4m$。
(2) 因为乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为$1.21m$，所以设$y_{2}=-(x - h)^{2}+1.21$。将点$B(1.4,0)$的坐标代入，得$0 = -(1.4 - h)^{2}+1.21$。解得$h_{1}=2.5$，$h_{2}=0.3$（舍去），所以$y_{2}=-(x - 2.5)^{2}+1.21$。当$y_{2}=0.4$时，$-(x - 2.5)^{2}+1.21 = 0.4$，解得$x_{1}=3.4$，$x_{2}=1.6$（舍去），所以为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端$O$的最小距离是$3.4m$。

9 [新考法 模型观念][2023贵州中考]如图1是一座抛物线形拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分(如图2所示)，抛物线的顶点在$C$处，对称轴$OC$与水平线$OA$垂直，$OC = 9$，点$A$在抛物线上，且点$A$到对称轴的距离$OA = 3$，点$B$在抛物线上，点$B$到对称轴的距离是1.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，为更加稳固，小星想在$OC$上找一点$P$，加装拉杆$PA$，$PB$，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点$P$的位置并求出坐标；
(3)为了使造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为$y = - x^{2} + 2bx + b - 1(b \gt 0)$，当$4\leqslant x\leqslant 6$时，函数$y$的值总大于等于9，求$b$的取值范围.

答案：
解题思路：
(1) 根据题意，设抛物线的表达式为$y = ax^{2}+9$，用待定系数法求解即可；
(2) 作点$A$关于$y$轴的对称点$A'$，连接$A'B$交$OC$于点$P$，则点$P$即为所求；
(3) 分$0\lt b\leqslant4$，$4\lt b\lt6$，$b\geqslant6$三种情况进行分类讨论，结合二次函数的图像和性质，建立不等式求得$b$的取值范围。 解：
(1) 设抛物线的表达式为$y = ax^{2}+9$，把点$A(3,0)$的坐标代入，得$9a + 9 = 0$，解得$a = -1$。所以抛物线的表达式为$y = -x^{2}+9$。
(2) 如图，作点$A$关于$y$轴的对称点$A'$，连接$A'B$交$OC$于点$P$，则点$P$即为所求，$A'(-3,0)$。把$x = 1$代入$y = -x^{2}+9$，得$y = 8$，所以$B(1,8)$。设直线$A'B$的表达式为$y = kx + m$，所以$\begin{cases}-3k + m = 0\\k + m = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\m = 6\end{cases}$，所以$y = 2x + 6$。令$x = 0$，得$y = 6$，所以点$P$的坐标为$(0,6)$。
(3)$y = -x^{2}+2bx + b - 1=-(x - b)^{2}+b^{2}+b - 1$，所以抛物线的对称轴为直线$x = b$，顶点坐标为$(b,b^{2}+b - 1)$。当$0\lt b\leqslant4$时，由$-6^{2}+12b + b - 1\geqslant9$，解得$b\geqslant\frac{46}{13}$，所以$\frac{46}{13}\leqslant b\leqslant4$。当$4\lt b\lt6$时，由$b - 4\gt6 - b$，得$b\gt5$，所以$-4^{2}+8b + b - 1\geqslant9$（抛物线开口向下，点离对称轴的距离越远，对应的函数值越小），解得$b\geqslant\frac{26}{9}$，所以$5\lt b\lt6$。由$b - 4\leqslant6 - b$，得$b\leqslant5$，所以$-6^{2}+12b + b - 1\geqslant9$，解得$b\geqslant\frac{46}{13}$，所以$4\lt b\leqslant5$。所以当$4\lt b\lt6$时，都成立。当$b\geqslant6$时，由$-4^{2}+8b + b - 1\geqslant9$，解得$b\geqslant\frac{26}{9}$，所以$b\geqslant6$都成立。综上所述，$b$的取值范围为$b\geqslant\frac{46}{13}$。