《2025年一遍过九年级数学下册冀教版》

7 如图，在扇形 CAB 中，CD⊥AB，垂足为 D，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接 AE，BE，则∠AEB 的度数为________.

答案：
135°@@如图，连接CE，因为⊙E是△ACD的内切圆，所以AE平分∠CAB，∠AEC = 90° + 1/2∠ADC。因为CD⊥AB，所以∠ADC = 90°，所以∠AEC = 135°。在△AEC和△AEB中，{AC = AB，∠CAE = ∠BAE，AE = AE}，所以△AEC≌△AEB，所以∠AEB = ∠AEC = 135°。

8 [2024 北京人大附中开学考试] 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB = AD = 6，BC = DE，∠B = ∠D = 30°，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合），点 B，E 在 AD 异侧，I 为△APC 的内心.
（1）求证：∠BAD = ∠CAE.
（2）设 AP = x，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值.
（3）当 AB⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为 m° ＜ ∠AIC ＜ n°，直接写出 m，n 的值.

答案：
（1）**证明**：
∵ AB = AD，∠B = ∠D，BC = DE，
∴ △ABC≌△ADE，
∴ ∠BAC = ∠DAE，
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，
∴ ∠BAD = ∠CAE。（2）**解**：PD = 6 - x。如图，当AD⊥BC时，x最小，PD最大。
∵ ∠B = 30°，AB = 6，AD⊥BC，
∴ x最小值 = AP = 1/2AB = 3，
∴ PD最大值 = 6 - 3 = 3。故PD的最大值为3。（3）**解**：m = 105，n = 150。**解法提示**：
∵ I是△APC的内心，
∴ ∠IAC = 1/2∠PAC，∠ICA = 1/2∠PCA，
∴ ∠IAC + ∠ICA = 1/2(∠PAC + ∠PCA) = 1/2(180° - ∠APC)，
∴ ∠AIC = 180° - 1/2(180° - ∠APC) = 90° + 1/2∠APC，即∠AIC随着∠APC的增大而增大。
∵ 点P不与点B重合，
∴ ∠APC ＞ 30°，
∴ ∠AIC ＞ 90° + 1/2×30° = 105°，即m = 105。
∵ 点P不与点C重合，
∴ ∠APC ＜ 120°，
∴ ∠AIC ＜ 90° + 1/2×120° = 150°，即n = 150。

9 [2023 唐山路北区二模] 如图，在△ABD 中，∠A = 90°，AB = AD，分别以点 B 和点 D 为圆心、BD 的长为半径画弧，两弧交于点 C. 若 AB = 5$\sqrt{6}$，则△ABD 的外心和△BCD 的内心的距离是 （ ）

A. $\frac{10}{3}\sqrt{3}$
B. 5$\sqrt{3}$
C. $\frac{10}{3}$
D. 5

答案：
D@@如图，连接AC，过点D作DF⊥BC于F，AC与BD，DF分别交于点E，G。
∵ AB = AD，CB = CD，∠BAD = 90°，
∴ △ABD是等腰直角三角形，AC垂直平分BD，
∴ 点E是△ABD的外心，易知△BCD是等边三角形，
∴ 点G是△BCD的内心。在Rt△ABD中，AB = AD = 5√6，BD = √(AB² + AD²) = 10√3，
∴ BE = DE = 5√3，又
∵ tan30° = EG/ED，
∴ EG = 5。故△ABD的外心与△BCD的内心的距离为5。

10 [2024 邢台期中] 已知点 O 是△ABC 的内心，∠BAC = 70°，P 为平面上一点，点 O 恰好又是△BCP 的外心，则∠BPC 的度数为 （ ）

A. 50°
B. 55°
C. 62.5°
D. 65°

答案：
C@@连接OB，OC，如图，
∵ 点O是△ABC的内心，
∴ ∠OBC = 1/2∠ABC，∠OCB = 1/2∠ACB，
∴ ∠OBC + ∠OCB = 1/2∠ABC + 1/2∠ACB = 1/2(∠ABC + ∠ACB)，
∵ ∠BAC = 70°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - 70° = 110°，
∴ ∠OBC + ∠OCB = 1/2(∠ABC + ∠ACB) = 55°，
∴ ∠BOC = 180° - 55° = 125°，
∵ 点O又是△BCP的外心，
∴ ∠BPC = 1/2∠BOC = 1/2×125° = 62.5°。

11 [2024 石家庄一模] 如图 1，已知点 I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点 D，连接 DC，DB.
（1）①证明：DC = DB.
②判断△IBC 外心的位置，并证明.
（2）如图 2，若 AB 为△ABC 的外接圆直径，取线段 AB 的中点 O，且 OI⊥AD 于 I，DE 与圆 O 相切于点 D，求 tan∠ADE 的值.
 
 

答案：
（1）①**证明**：
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ AI平分∠CAB，即∠CAD = ∠BAD，
∴ DC = DB。②**解**：D为△IBC的外心。证明如下：如图1，连接BI，
∵ I是△ABC的内心，
∴ BI平分∠CBA，即∠CBI = ∠ABI。
∵ ∠DBC = ∠DAC，
∴ ∠DBI = ∠CBI + ∠DBC = ∠ABI + ∠DAC = ∠ABI + ∠BAD = ∠DIB，
∴ DI = DB，
∴ DC = DI = DB，
∴ D为△IBC的外心。（2）**解**：如图2，连接OD，BD，
∵ AB为△ABC的外接圆直径，O为AB中点，
∴ 点O为△ABC的外接圆圆心，∠ADB = 90°，
∵ DE与圆O相切于点D，
∴ ∠ODE = 90°，即∠ODA + ∠ADE = 90°，
∵ OD = OA，
∴ ∠ODA = ∠OAD，又
∵ ∠OAD + ∠OBD = ∠ADB = 90°，
∴ ∠ADE = ∠OBD，
∵ OI⊥AD，OD = OA，
∴ DI = IA，
∵ 由（1）得DI = DB，
∴ AD = 2DB，
∴ tan∠ADE = tan∠ABD = AD/DB = 2。