《2025年一遍过九年级数学下册冀教版》

1 [2024河北九地市二模]如图，抛物线与$x$轴交于点$A(-2,0)$，$B(4,0)$，与$y$轴交于点$C(0,4)$.
(1)求抛物线的表达式；
(2)$P$是抛物线在第一象限的一个动点，点$Q$在线段$BC$上，且点$Q$始终在点$P$正下方，求线段$PQ$长的最大值.

答案：
解：（1）因为抛物线经过点$C(0,4)$，所以可设抛物线表达式为$y = ax^{2}+bx + 4$。将点$A(-2,0)$，$B(4,0)$的坐标分别代入，得$\begin{cases}0 = a\cdot(-2)^{2}-2b + 4\\0 = a\cdot4^{2}+4b + 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2}\\b = 1\end{cases}$，所以抛物线表达式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+x + 4$。@@（2）设经过点$B$，$C$的直线表达式为$y = mx + n$，将点$B(4,0)$，$C(0,4)$的坐标分别代入，得$\begin{cases}4m + n = 0\\n = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -1\\n = 4\end{cases}$，所以经过点$B$，$C$的直线表达式为$y = -x + 4$。设点$P(x,-\frac{1}{2}x^{2}+x + 4)$，点$Q(x,-x + 4)$，则$PQ = -\frac{1}{2}x^{2}+x + 4-(-x + 4)=-\frac{1}{2}x^{2}+2x = -\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+2$，所以当$x = 2$时，$PQ$有最大值$2$。

2 [2022常德中考]如图，已知抛物线过点$O(0,0)$，$A(5,5)$，且它的对称轴为直线$x = 2$.
(1)求此抛物线的表达式；
(2)若点$B$是抛物线对称轴上的一点，且点$B$在第一象限，当$\triangle OAB$的面积为$15$时，求点$B$的坐标；
(3)在(2)的条件下，若$P$是抛物线上的动点，当$PA - PB$的值最大时，求点$P$的坐标以及$PA - PB$的最大值.

答案：
解：（1）因为抛物线过点$O(0,0)$且它的对称轴为直线$x = 2$，所以抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(4,0)$。设抛物线的表达式为$y = ax(x - 4)$，把$(5,5)$代入，得$5a = 5$，解得$a = 1$，所以$y = x(x - 4)=x^{2}-4x$，故此抛物线的表达式为$y = x^{2}-4x$。@@（2）由点$B$是抛物线对称轴上的一点，且点$B$在第一象限，可设$B(2,m)(m\gt0)$。设直线$OA$的表达式为$y = kx$，则$5k = 5$，解得$k = 1$，所以直线$OA$的表达式为$y = x$。设直线$OA$与抛物线的对称轴交于点$H$，则$H(2,2)$，所以$BH=\vert m - 2\vert$。因为$S_{\triangle OAB}=15$，所以$\frac{1}{2}\times\vert m - 2\vert\times5 = 15$，所以$m = 8$（负值已舍），所以点$B$的坐标为$(2,8)$。@@（3）由$PA - PB\leqslant AB$可知，当点$P$在线段$AB$的延长线上时，$PA - PB$取最大值，最大值为$AB$的长。设直线$AB$的表达式为$y = nx + d$。把点$A(5,5)$，$B(2,8)$的坐标分别代入，得$\begin{cases}5n + d = 5\\2n + d = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}n = -1\\d = 10\end{cases}$，所以直线$AB$的表达式为$y = -x + 10$。令$x^{2}-4x = -x + 10$，解得$x_{1} = -2$，$x_{2} = 5$（舍去）。对于$y = -x + 10$，当$x = -2$时，$y = 12$，所以$P(-2,12)$，此时，$PA - PB = AB=\sqrt{(5 - 2)^{2}+(5 - 8)^{2}} = 3\sqrt{2}$。