《2025年一遍过九年级数学下册冀教版》

1 [母题·教材P23T4节选]如图，AB是⊙O的直径，CT与⊙O相切，且AC与CT垂直，AC交⊙O于点D. 求证：AT平分∠BAD.

答案：
证明：连接OT，如图，因为CT与⊙O相切，所以∠OTC = 90°，因为OA = OT，所以∠OAT = ∠OTA = 90° - ∠ATC，因为AC⊥CT，所以∠CAT = 90° - ∠ATC，所以∠OAT = ∠CAT，所以AT平分∠BAD。

2 [条件与结论互换证垂直]如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB且交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AF的延长线于点D. 求证：AD⊥CD.

答案：
证明：如图，连接OC。因为OA = OC，所以∠CAO = ∠OCA，因为AC平分∠FAB，所以∠DAC = ∠CAO，所以∠DAC = ∠OCA，所以AD//OC，因为CD是⊙O的切线，所以OC⊥CD，所以AD⊥CD。

3 [条件与结论互换证切线][2023阳江期末]如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，点E在边AB上，以AE为直径的⊙O与BC有公共点D，且AD平分∠BAC.
（1）求证：BC与⊙O相切.
（2）若AC = 4，AD = 2√6，求⊙O的半径.

答案：
- 解题思路： - （1）连接OD，可证明∠ODA = ∠DAB = ∠DAC，所以OD//AC，所以∠ODB = ∠C = 90°，即可证明BC与⊙O相切； - （2）过点O作OF⊥AC于点F，根据矩形的性质和勾股定理求解，设OD = OA = r，则CF = OD = r，可列方程(4 - r)² + (2√2)² = r²，解方程求出r的值即可。 - （1）证明：如图，连接OD，则OD = OA，所以∠ODA = ∠DAB，因为AD平分∠BAC，所以∠DAC = ∠DAB，所以∠ODA = ∠DAC，所以OD//AC，所以∠ODB = ∠C = 90°，因为BC经过⊙O的半径OD的外端，且BC⊥OD，所以BC与⊙O相切。! - （2）解：如图，过点O作OF⊥AC于点F，因为∠OFC = ∠C = ∠ODC = 90°，所以四边形ODCF是矩形，所以OD = CF，OF = CD。因为AC = 4，AD = 2√6，所以OF = CD = √(AD² - AC²) = 2√2，设OD = OA = r，则CF = r，AF = 4 - r。在Rt△AOF中，由勾股定理，得AF² + OF² = OA²，所以(4 - r)² + (2√2)² = r²，解得r = 3，所以⊙O的半径为3。

4 [变为直角三角形的直角边过圆心]如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，BD是角平分线，以D为圆心、DA的长为半径的⊙D与AC交于点E.
（1）求证：BC与⊙D相切.
（2）若sin C = 5/13，设BC切⊙D于点F，求tan∠CFE的值.

答案：
- （1）证明：过点D作DM⊥BC于点M，如图1。因为∠BAD = 90°，所以AD⊥AB，因为BD平分∠ABC，DA⊥AB，DM⊥BC，所以AD = DM。又因为DM⊥BC，所以BC与⊙D相切。! - （2）解：连接DF，EF，过点E作EG⊥FC于点G，如图2。设DF = 5k，由题意知DF⊥BC，因为sin C = 5/13 = DF/DC，所以CD = 13k，所以FC = √(CD² - DF²) = 12k，CE = CD - DE = 8k。 - 解法一：因为DF⊥BC，EG⊥FC，所以EG//FD，所以△CEG∽△CDF，所以CE/CD = EG/DF = CG/CF，即8k/13k = EG/5k = CG/12k，所以EG = 40/13k，CG = 96/13k，所以FG = FC - GC = 60/13k，所以tan∠EFC = EG/FG = (40/13k)/(60/13k) = 2/3。 - 解法二：在Rt△CEG中，sin C = EG/CE = 5/13，所以EG = 40/13k，所以CG = √(CE² - EG²) = 96/13k，所以FG = FC - GC = 60/13k，所以tan∠EFC = EG/FG = (40/13k)/(60/13k) = 2/3。

5 [变为直角三角形的斜边不过圆心][2023秦皇岛十月考]如图，半径为3的⊙O与Rt△ABC相交于点A，C，D，连接OD，AD，DA平分∠BDO，∠B = 90°.
（1）求证：AB与⊙O相切.
（2）若∠CAB = 65°，求⌢CD的长（结果保留π）.

答案：
- （1）证明：连接OA，如图。因为OA = OD，所以∠OAD = ∠ODA。因为DA平分∠BDO，所以∠ADB = ∠ODA，所以∠OAD = ∠ADB，所以OA//BC，所以∠OAB + ∠B = 180°。因为∠B = 90°，所以∠OAB = 90°，又因为OA是⊙O的半径，所以AB与⊙O相切。! - （2）解：连接OC，如图，因为∠B = 90°，∠CAB = 65°，所以∠ACB = 25°，所以∠AOD = 50°。因为OA//BC，所以∠ODC = ∠AOD = 50°。因为OC = OD，所以∠OCD = ∠ODC = 50°，所以∠COD = 80°，所以弧CD的长为80π×3 / 180 = 4/3π。