《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学下册人教版福建专版》

4. 某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图28-2-24所示，已知真空集热管和支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB = 150 cm，∠BAC = 30°，另一根辅助支架DE = 76 cm，∠CED = 60°.
(1)求垂直支架CD的长度(结果保留根号)；
(2)求水箱半径OD的长度(结果保留三个有效数字，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73). 图28-2-24

答案： 解：
(1)在Rt△DCE中，∠CED = 60°，
∵$\sin∠CED$ = $\frac{DC}{DE}$，
∴DC = DE·$\sin∠CED$ = 38$\sqrt{3}$(cm). 因此，垂直支架CD的长度为38$\sqrt{3}$ cm.
(2)设水箱半径OD = x cm， 则OC = (38$\sqrt{3}$ + x)cm，AO = (150 + x)cm. 在Rt△OAC中，
∵∠BAC = 30°，
∴AO = 2OC，即150 + x = 2(38$\sqrt{3}$ + x)， 解得x = 150 - 76$\sqrt{3}$ ≈ 18.52 ≈ 18.5(cm). 因此，水箱半径OD的长度约为18.5 cm.

5. 如图28-2-25所示，从20 m高的甲楼顶A处望乙楼顶C处时的仰角是30°，望乙楼底D处时的俯角是45°，求乙楼CD的高度(精确到0.1 m，√2≈1.414，√3≈1.732). 图28-2-25

答案： 解：过A点作AE⊥CD于E.
∵AB//CD，AE//BD，
∴DE = AB = 20 m. 在Rt△ADE中，∠DAE = 45°，DE = 20 m，
∴AE = DE = 20 m. 在Rt△ACE中，∠CAE = 30°，AE = 20 m，
∴$\frac{CE}{AE}$ = $\tan 30°$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$， CE = $\frac{\sqrt{3}}{3}$×20 = $\frac{20\sqrt{3}}{3}$(m)，
∴CD = CE + ED = $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ + 20 ≈ 31.5(m).
∴乙楼的高度约为31.5 m.

6. 如图28-2-26所示，海中有一小岛B，它的周围15 n mile内有暗礁. 有一货轮以30 n mile/h的速度向正北航行，当它航行到A处时，发现B岛在它的北偏东30°方向，当货轮继续向北航行半小时后到达C处，发现B岛在它的东北方向. 问货轮继续向北航行有无触礁的危险？(参考数据：√3≈1.7，√2≈1.4) 图28-2-26

答案：
解：如图D - 28 - 16所示，作BD⊥AC于点D. 设BD = x n mile，在Rt△ABD中，$\tan 30°$ = $\frac{x}{AD}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AD = $\sqrt{3}$x. 在Rt△CBD中，$\tan 45°$ = $\frac{x}{CD}$ = 1，
∴CD = x.
∴AC = AD - CD = $\sqrt{3}$x - x.
∵AC = 30×$\frac{1}{2}$ = 15(n mile)，
∴$\sqrt{3}$x - x = 15，
∴x ≈ 20.25(n mile).
∵20.25 n mile＞15 n mile，
∴没有触礁的危险. 

1. 如图28-2-27所示，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 15°，AB = 8，则AC·BC的值是( ) 图28-2-27

A. 14
B. 16√3
C. 4√15
D. 16

答案：
D 解析：如图D - 28 - 17所示，作△ABC的中线CD，高CE.
∵∠ACB = 90°，
∴CD = AD = BD = 4，
∴∠A = ∠ACD = 15°，
∴∠CDB = 30°.
∴CE = CD·$\sin∠CDB$ = 4×$\sin 30°$ = 2.
∵$S_{△ABC}$ = $\frac{1}{2}$AB·CE = $\frac{1}{2}$AC·BC，
∴AC·BC = AB·CE = 8×2 = 16. 

2. 如图28-2-28所示，一军舰S到灯塔A和B的距离相等，灯塔A在S的北偏东50°方向上，灯塔B在S的南偏东70°方向上，则灯塔A在灯塔B的( )方向上.


A. 北偏西10°
B. 北偏东10°
C. 南偏西10°
D. 南偏东10° 图28-2-28 图28-2-29

答案： A