《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学下册人教版福建专版》

5. 根据预习内容，回答下列问题.
计算：（1）$\sin 45^{\circ}\cos 45^{\circ}$；
（2）$\tan 30^{\circ}\sin 60^{\circ}\times6$.

答案： （1）
$\sin 45^{\circ}\cos 45^{\circ}$=1/2
（2）$\tan 30^{\circ}\sin 60^{\circ}\times6$=3.

例1 求下列各式的值：
（1）$(\cos 30^{\circ}+\sin 45^{\circ})(\sin 60^{\circ}-\cos 45^{\circ})$；
（2）$\frac{4\cos 60^{\circ}-\tan 45^{\circ}}{\tan 60^{\circ}-2\tan 45^{\circ}}$.

答案： 解：（1）原式$=(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})\times(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})$
$=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$；
（2）原式$=\frac{4\times\frac{1}{2}-1}{\sqrt{3}-2\times1}=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=-2-\sqrt{3}$.

例2 在$\triangle ABC$中，若$\vert 2\sin^{2}A - 1\vert+\sqrt{3}(\tan C-\sqrt{3})^{2}=0$，求$\angle B$的度数.

答案： 解：由题意，得
$2\sin^{2}A - 1 = 0$，$\tan C-\sqrt{3}=0$，
$\therefore\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$（负值舍去），$\tan C=\sqrt{3}$，
$\therefore\angle A = 45^{\circ}$，$\angle C = 60^{\circ}$.
又$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，$\therefore\angle B = 75^{\circ}$.

例3 如图28-1-22所示，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\sin B=\frac{3}{5}$，点$D$在$BC$边上，且$\angle ADC = 45^{\circ}$，$CD = 6$，求$\angle BAD$的正切值.

答案： 解：过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$.
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ADC = 45^{\circ}$，
$\therefore AC = CD = 6$.
又$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，$\therefore AB = 10$，
$\therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$，
$\therefore BD = BC - CD = 2$.
又$\sin B=\frac{DE}{BD}=\frac{3}{5}$，$\therefore DE=\frac{6}{5}$，
$\therefore BE=\sqrt{BD^{2}-DE^{2}}=\frac{8}{5}$，
$\therefore AE = AB - BE = 10-\frac{8}{5}=\frac{42}{5}$.
在$Rt\triangle AED$中，$\angle AED = 90^{\circ}$，
$\therefore\tan\angle BAD=\frac{DE}{AE}=\frac{\frac{6}{5}}{\frac{42}{5}}=\frac{1}{7}$.