《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学下册人教版福建专版》

3. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，若将各边的长度都缩小为原来的$\frac{1}{2}$，则$\angle A$的正弦值（ ）
A. 缩小为原来的$\frac{1}{2}$
B. 扩大2倍
C. 缩小为原来的$\frac{1}{4}$
D. 不变

答案： D 解析：
∵sin A = $\frac{BC}{AB}$，将各边的长度都缩小为原来的$\frac{1}{2}$后， sin A = $\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}AB}=\frac{BC}{AB}$，
∴∠A的正弦值不变。

4. 等腰三角形的底边长是10，其面积是$25\sqrt{3}$，则底角的正弦值等于______.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

5. 如图28-1-5所示，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是斜边上的高，分别写出等于$\angle B$的正弦的线段的比，这样的比有几个？

答案： 解：在△ABC中，
∵∠ACB = 90°，
∴sin B = $\frac{AC}{AB}$。 在△BCD中，
∵CD⊥AB，
∴sin B = $\frac{CD}{BC}$。
∵∠B + ∠BCD = 90°，∠BCD + ∠ACD = 90°，
∴∠B = ∠ACD，
∴sin B = sin∠ACD = $\frac{AD}{AC}$，
∴等于∠B的正弦的线段的比有$\frac{AC}{AB}$，$\frac{CD}{BC}$，$\frac{AD}{AC}$，这样的比共有三个。

1. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$a$，$b$，$c$分别是$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$的对边，如果$\sin A:\sin B = 2:3$，那么$a:b$等于（ ）
A. $2:3$
B. $3:2$
C. $4:9$
D. $9:4$

答案： A 解析：
∵sin A = $\frac{a}{c}$，sin B = $\frac{b}{c}$，
∴sin A : sin B = $\frac{a}{c}:\frac{b}{c}=a:b$。 又sin A : sin B = 2 : 3，
∴a : b = 2 : 3。

2. 如图28-1-6所示，$\triangle ABC$外接圆$O$的半径为3，$AC = 4$，则$\sin B =$（ ）

A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{2}{3}$

答案： D 

3. 如图28-1-7所示，在$8\times4$的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若$\triangle ABC$的三个顶点在图中相应的格点上，则$\sin\angle ACB$的值为（ ）


A. $\frac{\sqrt{10}}{10}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. 3

答案： A 解析：首先应将∠ACB放在直角三角形中，从A点向BC所在直线作垂线AH，垂足为H（图略），则∠ACB在Rt△ACH中， AH = 2，CH = 6，
∴AC = $\sqrt{AH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{2^{2}+6^{2}} = 2\sqrt{10}$，
∴sin∠ACB = $\frac{AH}{AC}=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。

4. 一个直角三角形的两边分别为3和4，则较大锐角的正弦值为______.

答案： $\frac{4}{5}$或$\frac{3}{4}$ 解析：若3和4为两直角边，则斜边为$\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，则较大锐角的正弦值为$\frac{4}{5}$； 若4为斜边，则另一条直角边为$\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$，则较大锐角的正弦值为$\frac{3}{4}$。

5. 如图28-1-8所示，在$\triangle ABC$中，$AB = 5$，$BC = 13$，$AD\perp BC$于$D$，$AD = 4$，求$CD$和$\sin C$的值.

答案： 解：
∵AD⊥BC，
∴△ABD为直角三角形。 由题意，知 BD = $\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，
∴CD = BC - BD = 13 - 3 = 10。 在Rt△ACD中，AC = $\sqrt{CD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{10^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{29}$，
∴sin C = $\frac{AD}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$。