《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学下册人教版福建专版》

例1 如图27-2-34所示，在□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE = $\frac{1}{2}$CD.
（1）求证：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积.

答案： （1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ ∠A = ∠C，AB//CD.

∴ ∠ABF = ∠CEB.
∴ △ABF∽△CEB.
（2）解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD//BC，AB//CD，

∴ △DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.

∵ DE = $\frac{1}{2}$CD，
∴ $\frac{DE}{EC}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$，

∴ $\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle CEB}}=(\frac{DE}{EC})^{2}=\frac{1}{9}$，
$\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABF}}=(\frac{DE}{AB})^{2}=\frac{1}{4}$.

∵ $S_{\triangle DEF}=2$，
∴ $S_{\triangle CEB}=18$，$S_{\triangle ABF}=8$.

∴ $S_{四边形BCDF}=S_{\triangle BCE}-S_{\triangle DEF}=16$.

∴ $S_{四边形ABCD}=S_{四边形BCDF}+S_{\triangle ABF}=16 + 8 = 24$.

例2 已知△ABC ∽△A'B'C'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{3}$，△ABC的周长为20 cm，面积是40 cm².
求：（1）△A'B'C'的周长；（2）△A'B'C'的面积.

答案： 解：（1）
∵ △ABC∽△A'B'C'，

∴ $\frac{\triangle ABC的周长}{\triangle A'B'C'的周长}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{3}$.

∵ △ABC的周长为20 cm，

∴ $\frac{20}{\triangle A'B'C'的周长}=\frac{2}{3}$，

∴ △A'B'C'的周长 = $\frac{3}{2}×20 = 30$(cm).
（2）
∵ $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}}=(\frac{AB}{A'B'})^{2}=(\frac{2}{3})^{2}=\frac{4}{9}$，

∴ $S_{\triangle A'B'C'}=\frac{9}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{9}{4}×40 = 90$(cm²).

∴ △A'B'C'的面积为90 cm².