《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学下册人教版福建专版》

6. 如图28-1-9所示，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$D$为$BC$边（端点除外）上的一点，设$\angle ADC=\alpha$，$\angle B=\beta$.
（1）猜想$\sin\alpha$与$\sin\beta$的大小关系；
（2）试证明你的结论.

答案： （1）解：sin α ＞ sin β。 （2）证明：
∵∠C = 90°，
∴sin α = $\frac{AC}{AD}$，sin β = $\frac{AC}{AB}$。
∵D为BC边（端点除外）上的点，
∴CD ＜ CB。
∵AD = $\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}$，AB = $\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}$，
∴AD ＜ AB，
∴$\frac{AC}{AD}＞\frac{AC}{AB}$，
∴sin α ＞ sin β。

7. 如图28-1-10所示，在正方形$ABCD$中，$M$为$AD$的中点，$E$为$AB$上一点，且$BE = 3AE$，求$\sin\angle ECM$.

答案： 解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = BC = CD = AD，∠B = ∠A = ∠D = 90°。 设AE = k，则BE = 3k，AD = BC = CD = 4k。
∵M是AD的中点，
∴AM = MD = 2k。 利用勾股定理可得CE = 5k，EM = $\sqrt{5}k$，CM = 2$\sqrt{5}k$。
∴CE² = 25k²，EM² + CM² = 5k² + 20k² = 25k²，
∴CE² = EM² + CM²，
∴∠CME = 90°，
∴sin∠ECM = $\frac{EM}{CE}=\frac{\sqrt{5}k}{5k}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

1. 在直角三角形中，$a$，$b$表示两直角边，$c$表示斜边，则$a$，$b$，$c$之间的关系是______.

答案： a2+b2=c2

2. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，我们把锐角$A$的______与______的比叫作$\angle A$的正弦，当$\angle A$的度数一定时，这个值与三角形的______无关.

答案： 对边 斜边 大小

3. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，我们把$\angle A$的______与______的比叫作$\angle A$的余弦，把$\angle A$的______与______的比叫作$\angle A$的正切，$\angle A$的______都是$\angle A$的锐角三角函数.

答案： 邻边，斜边，对边，邻边     正弦、余弦、正切