《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学下册人教版福建专版》

3. 把一个矩形对折，得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长、宽之比为（ ）
A. 2：1
B. 4：1
C. $\sqrt{2}$：1
D. 3：2

答案： C@@解析：设原矩形的长为a，宽为b，根据题意，得$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{1}{2}a}$， $\frac{1}{2}a^{2}=b^{2}$，$\frac{a^{2}}{b^{2}}=2$，$\frac{a}{b}=\sqrt{2}$，
∴ 原矩形的长、宽之比为$\sqrt{2}$ : 1。

4. 一个多边形的边长分别为 2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为 6，则最长边长为（ ）
A. 12
B. 18
C. 24
D. 30

答案： B@@解析：设最长边长为x，
∵ 相似多边形对应边的比相等，
∴ $\frac{2}{6}=\frac{6}{x}$，
∴ x = 18。

5. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A. 底角为 20°的两个等腰梯形
B. 邻边之比为 1：2 的两个平行四边形
C. 各有一个角是 20°的两个平行四边形
D. 两条邻边对应成比例的两个矩形

答案： D@@解析：底角为20°的两个等腰梯形的四个角对应相等，但四条边的比不一定相等，故A错；邻边之比为1 : 2的两个平行四边形的四条边的比相等，但四个角不一定相等，故B错；各有一个角是20°的两个平行四边形的四个角对应相等，但四条边的比不一定相等，故C错；两条邻边对应成比例的两个矩形的四条边的比相等，两个矩形的四个角也对应相等，故D正确。

6. 如图 27-1-6 所示，在矩形 ABCD 中，AB = 1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD =（ ）

A. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B. $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

答案： B@@解析：AB = 1，设AD = x，则FD = x - 1，FE = 1，
∵ 矩形EFDC与矩形ABCD相似，
∴ $\frac{EF}{FD}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{1}{x - 1}=\frac{x}{1}$，解得$x_{1}=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$（负值，舍去），经检验$x=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$是原方程的解，故选B。

二、填空题
7. 已知线段 AB 的长为 15，点 C 在线段 AB 的延长线上，且 AC：BC = 3：2，则 BC 的长为_________.

答案： 30@@解析：由题意知，AC = AB + BC，
∵ AC : BC = 3 : 2，
∴ （AB + BC） : BC = 3 : 2， 即（15 + BC） : BC = 3 : 2，
∴ BC = 30。

8. 在 1：500 000 的地图上，量得甲、乙两城市之间的直线距离为 15 cm，那么这两个城市之间的实际距离是 ____________ km.

答案： 75@@解析：设实际距离为x cm， 则1 : 500 000 = 15 : x，
∴ x = 7 500 000，7 500 000 cm = 75 km。

三、解答题
9. 已知四条线段的长度为 a = 2 cm，b = 30 m，c = 6 cm，d = 10 m，请判断它们是不是成比例线段.

答案： 解：
∵ a = 2 cm，b = 30 m = 3 000 cm，c = 6 cm，d = 10 m = 1 000 cm，
∴ a ＜ c ＜ d ＜ b。
∵ $\frac{a}{c}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{d}{b}=\frac{1 000}{3 000}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{a}{c}=\frac{d}{b}$。
∴ 它们是成比例线段。

10. 如图 27-1-7 所示，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，已知 AB = 4.
（1）求 AD 的长；
（2）求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比.

答案： 解：（1）由已知，得 MN = AB，MD = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$BC。
∵ 矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ $\frac{DM}{AB}=\frac{MN}{BC}$，即$\frac{1}{2}AD^{2}=AB^{2}$，由AB = 4得，AD = $4\sqrt{2}$。 （2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为$\frac{DM}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。