《2025年阳光课堂金牌练习册九年级数学下册人教版福建专版》

2. 如图27-2-39所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ）
A. 1:3
B. 2:3
C. $\sqrt{3}:2$
D. $\sqrt{3}:3$

答案： A 解析：首先根据题意可求得∠DFE = ∠FED = ∠EDF = 60°，即可证得△DEF是正三角形. 又由直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB = 1：$\sqrt{3}$，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果.

3. 在△ABC中，AB = AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，点G，F在BC边上，四边形DEFG是正方形，如图27-2-40所示. 若DE = 2 cm，则AC的长为（ ）


A. $3\sqrt{3}$ cm
B. 4 cm
C. $2\sqrt{3}$ cm
D. $2\sqrt{5}$ cm

答案： D

4. 两个相似三角形一对对应边的长分别为35 cm和15 cm，它们的周长之差为60 cm，则这两个三角形的周长分别为________.

答案： 105 cm和45 cm 解析：两个三角形的相似比为35：15 = 7：3，即周长比为7：3. 设两个三角形的周长分别为7x cm和3x cm.
∴ 7x - 3x = 60，
∴ x = 15.
∴ 两个三角形的周长分别为7x = 7×15 = 105（cm），3x = 3×15 = 45（cm）.

5. 已知两个相似多边形的周长比为1:2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是________.

答案： 5和20 解析：由题意可知两个多边形的面积比是1：4，设两个多边形中较小的多边形的面积是x，则较大的面积是4x. 根据题意得x + 4x = 25，解得x = 5. 因而这两个多边形的面积分别是5和20.

6. 在△ABC中，点D、点E分别是边AB，AC的中点，如图27-2-41所示，则△ADE与△ABC的周长之比等于________.

答案： $\frac{1}{2}$ 解析：
∵ 点D、点E分别是边AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，且DE = $\frac{1}{2}$BC，
∴ △ADE∽△ABC，
∴ $\frac{△ADE的周长}{△ABC的周长}$ = $\frac{DE}{BC}$ = $\frac{1}{2}$.

7. 已知△ABC的三边长分别为3，4，5，与其相似的△A'B'C'的最大边长是15，求△A'B'C'的周长.

答案： 解：
∵ △ABC∽△A'B'C'，设△A'B'C'另两边长分别为x，y，
∴ $\frac{5}{15}$ = $\frac{4}{x}$ = $\frac{3}{y}$，
∴ 5x = 15×4，
∴ x = 12.
∴ 5y = 3×15，
∴ y = 9.
∴ △A'B'C'的周长为12 + 9 + 15 = 36.

8. 如图27-2-42所示，在等腰三角形ABC中，底边BC = 60 cm，高AD = 40 cm，四边形PQRS是正方形.
（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形PQRS的边长.

答案： 解：（1）△ASR∽△ABC. 理由：
∵ 四边形PQRS是正方形，
∴ SR//BC，
∴ △ASR∽△ABC. （2）由（1）知△ASR∽△ABC，
∴ $\frac{AE}{AD}$ = $\frac{SR}{BC}$. 设正方形PQRS的边长为x cm， 则AE = (40 - x)cm，
∴ $\frac{40 - x}{40}$ = $\frac{x}{60}$， 解得x = 24.
∴ 正方形PQRS的边长为24 cm.

9. 如图27-2-43所示，已知△ABC，延长BC到D，使CD = BC. 取AB的中点F，连接FD交AC于点E.
（1）求$\frac{AE}{AC}$的值；
（2）若AB = a，FB = EC，求AC的长.

答案：
解：（1）过点F作FM//AC，交BC于点M，如图D - 27 - 3所示.
∵ F为AB的中点，
∴ M为BC的中点，
∴ FM = $\frac{1}{2}$AC. 由FM//AC，得 ∠CED = ∠MFD，∠ECD = ∠FMD，
∴ △FMD∽△ECD.
∴ $\frac{EC}{FM}$ = $\frac{DC}{DM}$ = $\frac{2}{3}$，
∴ EC = $\frac{2}{3}$FM = $\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{3}$AC，
∴ $\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AC - EC}{AC}$ = $\frac{AC - \frac{1}{3}AC}{AC}$ = $\frac{2}{3}$. （2）
∵ AB = a，
∴ FB = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$a. 又FB = EC，
∴ EC = $\frac{1}{2}$a.
∵ EC = $\frac{1}{3}$AC，
∴ AC = 3EC = $\frac{3}{2}$a.