《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. (15 分)在公差为$d$的等差数列$\{ a_{n}\}$中,已知$a_{1}=10,5a_{1}a_{3}=(2a_{2}+2)^{2}$.
(1) 求$d,a_{n}$;
(2) 若$d＜0$,求$\vert a_{1}\vert+\vert a_{2}\vert+\vert a_{3}\vert+·s+\vert a_{n}\vert$.

答案： 16.解：
(1) 因为$5a_1a_3 = (2a_2 + 2)^2$, 所以$d^2 - 3d - 4 = 0$, 解得$d = -1$或$d = 4$.
故$a_n = -n + 11$或$a_n = 4n + 6$.
(2)设数列$\{ a_n \}$的前$n$项和为$S_n$. 因为$d ＜ 0$, 所以由
(1)得$d = -1$,$a_n = -n + 11$. 则当$n \leq 11$时，
$|a_1| + |a_2| + |a_3| + ·s + |a_n| = S_n = - \frac{1}{2}n^2 + \frac{21}{2}n$;
当$n \geq 12$时，$|a_1| + |a_2| + |a_3| + ·s + |a_n| = -S_n + 2S_{11} = \frac{1}{2}n^2 - \frac{21}{2}n + 110$.
综上所述，$|a_1| + |a_2| + |a_3| + ·s + |a_n| = \begin{cases} - \frac{1}{2}n^2 + \frac{21}{2}n, n \leq 11, \\ \frac{1}{2}n^2 - \frac{21}{2}n + 110, n \geq 12. \end{cases}$

17. (15 分)在①$a_{4}+a_{5}=-4$,②$a_{2}+a_{6}=-6$,③$S_{7}=14$这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并回答问题.
问题:等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n},a_{7}=3$.若,是否存在实数$k$,使得$S_{k - 1}＞S_{k}$且$S_{k}＜S_{k + 1}$?若$k$存在,求$k$的值;若$k$不存在,请说明理由.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

答案： 17.解：若存在$k$, 使得$S_{k - 1} ＞ S_k$且$S_k ＜ S_{k + 1}$, 则$a_k ＜ 0$,$a_{k + 1} ＞ 0$. 设等差数列$\{ a_n \}$的公差为$d$.
若选择条件①：
由$\begin{cases} a_7 = 3, \\ a_4 + a_5 = -4, \end{cases}$得$\begin{cases} a_1 + 6d = 3, \\ 2a_1 + 7d = -4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a_1 = -9, \\ d = 2, \end{cases}$
所以$a_n = -9 + 2(n - 1) = 2n - 11(n \in \mathbf{N}^*)$.
令$a_n ＜ 0$, 得$n ＜ \frac{11}{2}$,
所以当$k = 5$时，满足$a_5 ＜ 0$,$a_6 ＞ 0$,
所以$k = 5$满足题意.
若选择条件②：
由$\begin{cases} a_7 = 3, \\ a_2 + a_6 = -6, \end{cases}$得$\begin{cases} a_1 + 6d = 3, \\ 2a_1 + 6d = -6, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a_1 = -9, \\ d = 2, \end{cases}$
所以$a_n = -9 + 2(n - 1) = 2n - 11(n \in \mathbf{N}^*)$.
后同选择条件①.
若选择条件③：
由$\begin{cases} a_7 = 3, \\ S_7 = 14, \end{cases}$得$\begin{cases} a_1 + 6d = 3, \\ 7a_1 + 21d = 14, \end{cases}$解得$\begin{cases} a_1 = 1, \\ d = \frac{1}{3}, \end{cases}$
所以$a_n = 1 + \frac{1}{3}(n - 1) = \frac{1}{3}n + \frac{2}{3}(n \in \mathbf{N}^*)$.
易知$a_n ＞ 0$恒成立，
所以不存在满足条件的实数$k$.