《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知函数 $ f(x) = 2x^3 + ax^2 + 36x - 24 $ 在 $ x = 2 $ 处有极值，则该函数的一个递增区间是(B)

A.$ (2,3) $
B.$ (3,+\infty) $
C.$ (2,+\infty) $
D.$ (-\infty,3) $

答案： 1.B　因为$f^{\prime}(x)=6x^{2}+2ax+36$，且在$x = 2$处有极值，所以$f^{\prime}(2)=0$，即$24 + 4a + 36 = 0$，$a = - 15$，所以$f^{\prime}(x)=6x^{2}-30x + 36 = 6(x - 2)(x - 3)$，由$f^{\prime}(x)＞0$得$x＜2$或$x＞3$。

2. $ f(x) = e^x - x $ 在区间 $ [-1,1] $ 上的最大值是(D)

A.$ 1 + \frac{1}{e} $
B.1
C.$ e + 1 $
D.$ e - 1 $

答案： 2.D　$f^{\prime}(x)=e^{x}-1$，令$f^{\prime}(x)=0$，得$x = 0$，令$f^{\prime}(x)＞0$，得$x＞0$，令$f^{\prime}(x)＜0$，得$x＜0$，则函数$f(x)$在$(-1,0)$上单调递减，在$(0,1)$上单调递增，$f(-1)=e^{-1}+1$，$f(1)=e - 1$，$f(-1)-f(1)=\frac{1}{e}+2 - e＜\frac{1}{2}+2 - e＜0$，所以$f(1)＞f(-1)$。故选D。

3. 设函数 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上可导，其导函数为 $ f'(x) $，且函数 $ f(x) $ 在 $ x = -4 $ 处取得极小值，则函数 $ y = xf'(x) $ 的图象可能是(C)

答案： 3.C　由函数$f(x)$在$x = - 4$处取得极小值，可得$f^{\prime}(-4)=0$，且导函数$f^{\prime}(x)$在$x = - 4$两侧的符号为左负右正，故函数$y = xf^{\prime}(x)$在$x = - 4$两侧的符号为左正右负，结合所给的选项，知选C。

4. 函数 $ f(x) = x^3 - 3ax - a $ 在 $ (0,1) $ 内有最小值，则 $ a $ 的取值范围为(B)

A.$ 0 \leq a ＜ 1 $
B.$ 0 ＜ a ＜ 1 $
C.$ -1 ＜ a ＜ 1 $
D.$ 0 ＜ a ＜ \frac{1}{2} $

答案： 4.B　因为$f^{\prime}(x)=3x^{2}-3a$，则$f^{\prime}(x)=0$有解，可得$a = x^{2}$。又$x\in(0,1)$，所以$0＜a＜1$。

5. 若函数 $ f(x) = \frac{x^2}{e^x} $ 的极大值点与极大值分别为 $ a,b $，则(C)

A.$ a ＜ b ＜ ab $
B.$ a ＜ ab ＜ b $
C.$ b ＜ ab ＜ a $
D.$ ab ＜ b ＜ a $

答案： 5.C　$\because f^{\prime}(x)=\frac{2x· e^{x}-x^{2}· e^{x}}{(e^{x})^{2}}=\frac{x·(2 - x)}{e^{x}}$，令$f^{\prime}(x)=0$，解得$x = 0$或$x = 2$，令$f^{\prime}(x)＞0$，解得$0＜x＜2$，令$f^{\prime}(x)＜0$，解得$x＜0$或$x＞2$，$\therefore f(x)$在$(0,2)$上单调递增，在$(-\infty,0)$，$(2,+\infty)$上单调递减，$\therefore x = 2$为极大值点，且$f(2)=\frac{4}{e^{2}}$，$\therefore a = 2$，$b=\frac{4}{e^{2}}$，$\therefore ab=\frac{8}{e^{2}}$，$\therefore b＜ab＜a$，故选C。

6. 已知函数 $ f(x) = \frac{a}{x} + \ln x - 1(a ＞ 0) $ 在定义域内有零点，则实数 $ a $ 的取值范围是(B)

A.$ a \leq 1 $
B.$ 0 ＜ a \leq 1 $
C.$ a \geq 1 $
D.$ a ＞ 1 $

答案： 6.B　函数$f(x)$定义域为$(0,+\infty)$。因为函数$f(x)=\frac{a}{x}+\ln x - 1(a＞0)$在定义域内有零点，所以$a=x - x\ln x$，设$h(x)=x - x\ln x$，$h^{\prime}(x)=-\ln x$，令$h^{\prime}(x)=0$，得$x = 1$。当$x\in(0,1)$时，$h^{\prime}(x)＞0$，$h(x)$单调递增；当$x\in(1,+\infty)$时，$h^{\prime}(x)＜0$，$h(x)$单调递减。所以$h(x)_{\max}=h(1)=1$，则$0＜a\leq1$，故选B。

7. 函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 在区间 $ (-2,m) $ 上有最大值，则 $ m $ 的取值范围是(D)

A.$ (-1,+\infty) $
B.$ (-1,1] $
C.$ (-1,2) $
D.$ (-1,2] $

答案： 7.D　由已知可得$f^{\prime}(x)=3x^{2}-3 = 3(x + 1)(x - 1)$。令$f^{\prime}(x)＞0$解得$x＜-1$或$x＞1$；令$f^{\prime}(x)＜0$解得$-1＜x＜1$，$\therefore f(x)$在$(-\infty,-1)$上递增，在$(-1,1)$上递减，在$(1,+\infty)$上递增。故若$f(x)$在区间$(-2,m)$上有最大值，则$\begin{cases}m＞-1\\f(m)\leq f(-1)\end{cases}$，即$\begin{cases}m＞-1\\m^{3}-3m\leq2\end{cases}$，即$\begin{cases}m＞-1\\(m - 2)(m + 1)^{2}\leq0\end{cases}$，$\therefore -1＜m\leq2$，即$m$的取值范围是$(-1,2]$。

8. 若函数 $ f(x) = \ln x + \frac{1}{2}x^2 - (m + \frac{1}{m})x(m ＞ 0) $，在区间 $ (0,2) $ 内有且仅有一个极值点，则 $ m $ 的取值范围是(B)

A.$ (0,\frac{1}{4}] \cup [4,+\infty) $
B.$ (0,\frac{1}{2}] \cup [2,+\infty) $
C.$ (0,\frac{1}{2}) \cup (2,+\infty) $
D.$ (0,\frac{1}{4}) \cup (4,+\infty) $

答案： 8.B　由$f(x)=\ln x+\frac{1}{2}x^{2}-(m+\frac{1}{m})x$，得$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}+x-(m+\frac{1}{m})(0＜x＜2)$，所以$f^{\prime}(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,2)$上单调递增，由于$f^{\prime}(2)=\frac{5}{2}-(m+\frac{1}{m})$，所以要使函数$f(x)$在区间$(0,2)$内有且仅有一个极值点，需满足$f^{\prime}(2)=\frac{5}{2}-(m+\frac{1}{m})\leq0$，即$2m^{2}-5m + 2\geq0$，解得$m\leq\frac{1}{2}$或$m\geq2$，又$m＞0$，所以$0＜m\leq\frac{1}{2}$或$m\geq2$。

9. 关于函数的极值，下列说法正确的是(BD)

A.导数为 0 的点一定是函数的极值点
B.$ f(x) $ 在定义域内可能有一个极值
C.函数的极小值一定小于它的极大值
D.若 $ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 上有极值，则 $ f(x) $ 在 $ (a,b) $ 内不是单调函数

答案： 9.BD　导数为0的点不一定是函数的极值点（如$y = x^{3}$，在$x = 0$处不是极值点），而可导函数的极值点的导数一定为0。函数$f(x)$在定义域内可能有一个极值，如二次函数。函数的极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值。极值点是单调性的转折点。若$f(x)$在$(a,b)$内有极值，则$f(x)$在$(a,b)$内不是单调函数。