《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

19. (17 分) 设函数 $f(x) = a^2x^2 + ax - 3\ln x + 1$, 其中 $a ＞ 0$.
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若 $y = f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点, 求 $a$ 的取值范围.

答案： 19.解:
(1)函数的定义域为$(0,+\infty)$,又$f'(x)=\frac{(2ax+3)(ax-1)}{x}$,因为$a＞0,x＞0$,故$2ax+3＞0$,当$0＜x＜\frac{1}{a}$时,$f'(x)＜0$;当$x＞\frac{1}{a}$时,$f'(x)＞0$;所以函数$f(x)$在$(0,\frac{1}{a})$上单调递减,在$(\frac{1}{a},+\infty)$上单调递增.
(2)因为$f(1)=a^{2}+a+1＞0$且$y=f(x)$的图象与$x$轴没有公共点,所以$y=f(x)$的图象在$x$轴的上方,由
(1)中函数的单调性可得$f(x)_{\min}=f(\frac{1}{a})=3-3\ln\frac{1}{a}=3+3\ln a$,故$3+3\ln a＞0$即$a＞\frac{1}{e}$.所以实数$a$的取值范围是$(\frac{1}{e},+\infty)$.