《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

15. (13 分)已知函数 $ f ( x ) = a x ^ { 3 } + x ^ { 2 } ( a \in \mathbf { R } ) $ 在 $ x = - \frac { 4 } { 3 } $ 处取得极值.
(1)确定 $ a $ 的值;
(2)若 $ g ( x ) = f ( x ) \mathrm { e } ^ { x } $,求函数 $ g ( x ) $ 的单调减区间.

答案： 15.解：
(1)对$f(x)$求导得$f'(x)=3ax^{2}+2x$，因为$f(x)$在$x = -\frac{4}{3}$处取得极值，所以$f'(-\frac{4}{3})=0$，即$3a·(-\frac{4}{3})^{2}+2·(-\frac{4}{3})=\frac{16a}{3}-\frac{8}{3}=0$，解得$a=\frac{1}{2}$.
(2)由
(1)得$g(x)=(\frac{1}{2}x^{3}+x^{2})e^{x}$，故$g'(x)=\frac{1}{2}x(x + 1)(x + 4)e^{x}$.令$g'(x)＜0$，即$x(x + 1)·(x + 4)＜0$，解得$-1＜x＜0$或$x＜-4$，所以$g(x)$的单调减区间为$(-1,0),(-\infty,-4)$.