《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学必修第二册人教版》

1.下列结论中正确的是 ( )
A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B.向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{BA}$的长度相等
C.对任意向量$\boldsymbol{a}$，$\frac{\boldsymbol{a}}{\vert\boldsymbol{a}\vert}$是一个单位向量
D.零向量没有方向

答案： A中，单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，故A不正确；B中，向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{BA}$是相反向量，方向相反，长度相等，故B正确；C中，当$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}$时，$\frac{\boldsymbol{a}}{\vert\boldsymbol{a}\vert}$无意义，故C不正确；D中，零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D不正确. 故选B.

2.向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不共线，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AC}=l\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}(k,l\in\mathbf{R})$，且$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$共线，则$k,l$应满足 ( )
A.$k + l = 0$
B.$k - l = 0$
C.$kl + 1 = 0$
D.$kl - 1 = 0$

答案： $\because\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$不共线，$\therefore l\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\neq\boldsymbol{0}$，且$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$共线，$\therefore$存在实数$\lambda$，使得$\boldsymbol{a}+k\boldsymbol{b}=\lambda(l\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$，$\therefore\begin{cases}1 = \lambda l\\k=\lambda\end{cases}$，$\therefore kl - 1 = 0$.

3.已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是非零向量且满足$(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a}$，$(\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a})\perp\boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角是 ( )
A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{2\pi}{3}$
D.$\frac{5\pi}{6}$

答案： $\because(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{a},(\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a})\perp\boldsymbol{b}$，$\therefore(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，$(\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，$\therefore\boldsymbol{a}^{2}=\boldsymbol{b}^{2}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$.
设$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，则$\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert}=\frac{1}{2}$.
$\because\theta\in[0,\pi]$，$\therefore\theta=\frac{\pi}{3}$.

4.已知$\vert\boldsymbol{a}\vert = 2$，$\vert\boldsymbol{b}\vert = 1$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\frac{2\pi}{3}$，$\boldsymbol{e}$是与向量$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$方向相同的单位向量，则$\boldsymbol{a}$在向量$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$方向上的投影向量为 ( )
A.$\sqrt{3}\boldsymbol{e}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}\boldsymbol{e}$
C.$\frac{2\sqrt{7}}{7}\boldsymbol{e}$
D.$\frac{5\sqrt{7}}{7}\boldsymbol{e}$

答案： $\because\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-1,\vert\boldsymbol{a}\vert = 2,\vert\boldsymbol{b}\vert = 1$，$\therefore\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert=\sqrt{(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}}=\sqrt{4 - 2 + 1}=\sqrt{3}$，$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=4 - 1 = 3$，$\therefore\boldsymbol{a}$在向量$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$方向上的投影向量为$\frac{\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})}{\vert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\vert}\cdot\boldsymbol{e}=\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot\boldsymbol{e}=\sqrt{3}\boldsymbol{e}$.

5.在$\triangle ABC$中，$M$为边$BC$上的任意一点，点$N$在线段$AM$上，且满足$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{NM}$，若$\overrightarrow{AN}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}(\lambda,\mu\in\mathbf{R})$，则$\lambda + \mu$的值为 ( )
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.1
D.4

答案： 设$\overrightarrow{BM}=t\overrightarrow{BC}(0\leq t\leq1)$，因为$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{NM}$，所以$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}t\overrightarrow{BC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}t(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}t)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}t\overrightarrow{AC}$.
又$\overrightarrow{AN}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，所以$\lambda+\mu=(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}t)+\frac{1}{4}t=\frac{1}{4}$.

6.如图所示，$O$为线段$A_{0}A_{201}$外一点，若$A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},\cdots,A_{201}$中任意相邻两点间的距离相等，$\overrightarrow{OA_{0}}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OA_{201}}=\boldsymbol{b}$，则用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$表示$\overrightarrow{OA_{0}}+\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}+\cdots+\overrightarrow{OA_{201}}$，其结果为 ( )

A.$100(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$
B.$101(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$
C.$201(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$
D.$202(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$

答案： 设$A_0A_{201}$的中点为$A$，则$A$也是$A_1A_{200},\cdots,A_{100}A_{101}$的中点，可得$\overrightarrow{OA_0}+\overrightarrow{OA_{201}}=2\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，同理可得$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_{200}}=\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_{199}}=\cdots=\overrightarrow{OA_{100}}+\overrightarrow{OA_{101}}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，故$\overrightarrow{OA_0}+\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\cdots+\overrightarrow{OA_{201}}=101\times2\overrightarrow{OA}=101(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$.