《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. (15 分)已知函数 $ f ( x ) = \frac { x } { \mathrm { e } ^ { x } } $,且对任意的 $ x \in ( 0, 2 ) $,都有 $ f ( x ) ＜ \frac { 1 } { k + 2 x - x ^ { 2 } } $ 成立,求 $ k $ 的取值范围.

答案： 16.解：由题意知$f(x)=\frac{x}{e^{x}}＜\frac{1}{k + 2x - x^{2}}$对任意的$x\in(0,2)$都成立，由$\frac{x}{e^{x}}＞0$，知$k + 2x - x^{2}＞0$，即$k＞x^{2}-2x$对任意的$x\in(0,2)$都成立，从而$k\geq0$，故不等式可转化为$k＜\frac{e^{x}}{x}+x^{2}-2x$.令$g(x)=\frac{e^{x}}{x}+x^{2}-2x$，所以$g'(x)=\frac{e^{x}(x - 1)}{x^{2}}+2(x - 1)=(x - 1)(\frac{e^{x}}{x^{2}}+2)$，令$g'(x)=0$，得$x = 1$，显然函数$g(x)$在$(1,2)$上单调递增，在$(0,1)$上单调递减，所以$k＜g(x)_{\min}=g(1)=e - 1$.综上所述，实数$k$的取值范围是$[0,e - 1)$.