《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

18. (17 分) 已知函数 $f(x) = e^x - kx$ ($k \in \mathbf{R}$).
(1) 当 $k = 1$ 时, 求函数 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 讨论函数 $f(x)$ 的零点个数.

答案： 18.解:
(1)当$k=1$时,$f(x)=e^{x}-x$,$f'(x)=e^{x}-1$,令$f'(x)＞0$,则$x＞0$,$f(x)$单调递增;令$f'(x)＜0$,则$x＜0$,$f(x)$单调递减,故$f(x)$的单调递增区间为$(0,+\infty)$,单调递减区间为$(-\infty,0)$.
(2)设$P(x_{0},y_{0})$是函数$y=e^{x}$上一点,由$y=e^{x}$得$y'=e^{x}$,所以$y=e^{x}$在点$P$处的切线方程是$y-e^{x_{0}}=e^{x_{0}}(x-x_{0})$,令$x=y=0$,则$x_{0}=1$,所以过原点作$y=e^{x}$的切线方程是$y=ex$.故当$k＜0$或$k=e$时,函数$f(x)$有$1$个零点;当$k＞e$时,函数$f(x)$有$2$个零点;当$0\leq k＜e$时,函数$f(x)$无零点.