《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

19. (17 分)设函数 $ f ( x ) = \ln ( a - x ) $,已知 $ x = 0 $ 是函数 $ y = x f ( x ) $ 的极值点.
(1)求 $ a $.
(2)设函数 $ g ( x ) = \frac { x + f ( x ) } { x f ( x ) } $,证明:$ g ( x ) ＜ 1 $.

答案：
19.解：
(1)由题意，得$y'=\ln(a - x)-\frac{x}{a - x}(a＞x)$.因为$x = 0$是函数$y = xf(x)$的极值点，所以$\ln a = 0$，解得$a = 1$.
(2)证明：由
(1)知$g(x)=\frac{x+\ln(1 - x)}{x\ln(1 - x)}$，$x\in(-\infty,0)\cup(0,1)$，当$x\in(0,1)$时，$x\ln(1 - x)＜0$；当$x\in(-\infty,0)$时，$x\ln(1 - x)＜0$.故要证$g(x)＜1$，即证$x+\ln(1 - x)＞x\ln(1 - x)$，则有$-(1 - x)+(1 - x)\ln(1 - x)+1＞0$.令$t = 1 - x$，$t\in(0,1)\cup(1,+\infty)$，即证$t\ln t - t + 1＞0$.设$h(t)=t\ln t - t + 1$，则$h'(t)=\ln t$.当$t$变化时，$h'(t)$和$h(t)$的变化情况如下：

所以当$t\in(0,1)\cup(1,+\infty)$时，$h(t)＞h(1)=0$，所以不等式成立，即$g(x)＜1$.