《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 下列各式正确的是 (C)

A.$(\sin a)'=\cos a$ ($a$ 为常数)
B.$(\cos x)'=\sin x$
C.$(\sin x)'=\cos x$
D.$(x^{-5})'=-\frac{1}{5}x^{-6}$

答案： 1.C 由导数公式知选项A中$(\sin a)'=0$;选项B中$(\cos x)'=-\sin x$;选项D中$(x^{-5})'=-5x^{-6}$.

2. 已知函数 $y = f(x) = x^2 + 1$, 则当 $x = 2$, $\Delta x = 0.1$ 时, $\Delta y$ 的值为 (B)

A.0.40
B.0.41
C.0.43
D.0.44

答案： 2.B $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=2.1^{2}+1-(2^{2}+1)=0.41$.

3. 已知某物体的运动方程是 $s = \frac{t^3}{9} + t$, 则当 $t = 3$ 时的瞬间速度是 (C)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 3.C 当$t=3$时的瞬时速度是导函数$s'$在$t=3$时的值,因为$s=\frac{t^{3}}{9}+t$,所以$s'=\frac{t^{2}}{3}+1$,因此当$t=3$时的瞬间速度是$\frac{3^{2}}{3}+1=4$.

4. 设函数 $f(x) = a\ln x + bx^2$, 若函数 $f(x)$ 的图象在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y = x$, 则函数 $y = f(x)$ 的增区间为 (C)

A.$(0,1)$
B.$(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$
C.$(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)$
D.$(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$

答案： 4.C $f(x)=a\ln x+bx^{2}$的定义域为$(0,+\infty)$,$f'(x)=\frac{a}{x}+2bx$,
∵函数$f(x)$的图象在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=x$,
∴$\begin{cases}f(1)=b=1,\\f'(1)=a+2b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=1,\\a=-1.\end{cases}$
∴$f'(x)=-\frac{1}{x}+2x$,欲求$y=f(x)$的增区间,只需令$f'(x)=-\frac{1}{x}+2x＞0$,解得$x＞\frac{\sqrt{2}}{2}$或$x＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去),即函数$y=f(x)$的增区间为$(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)$.

5. 已知函数 $f(x) = ax^3 + bx$ ($a,b \in \mathbf{R}$) 的图象如图所示, 则 $a,b$ 的关系是 (B)


A.$3a - b = 0$
B.$3a + b = 0$
C.$a - 3b = 0$
D.$a + 3b = 0$

答案： 5.B 由函数图象知,$x=1$为函数的极大值点,$x=-1$为函数的极小值点,即$1,-1$是$f'(x)=0$的两个根.又$f'(x)=3ax^{2}+b$,所以$3a + b = 0$.

6. 若函数 $f(x) = \ln|x| - f'(-1)x^2 + 3x + 2$, 则 $f'(1) = $ (C)

A.2
B.-2
C.8
D.10

答案： 6.C 当$x＞0$时,$f(x)=\ln x-f'(-1)x^{2}+3x+2$,$f'(x)=\frac{1}{x}-2f'(-1)x+3$,$f'(1)=4-2f'(-1)$;①当$x＜0$时,$f(x)=\ln(-x)-f'(-1)x^{2}+3x+2$,$f'(x)=\frac{1}{x}-2f'(-1)x+3$,$f'(-1)=2+2f'(-1)$.②由①②,得$f'(1)=8$.