《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

18. （17 分）已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$S_{n}$表示$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，且$S_{n}=\frac{n + 2}{3}a_{n}$。
（1）求$a_{2}$，$a_{3}$；
（2）求$\{ a_{n}\}$的通项公式。

答案： 18.解：
(1)由$S_2 = \frac{4}{3}a_2$，得$3(a_1 + a_2) = 4a_2$，解得$a_2 = 3a_1 = 3$. 由$S_3 = \frac{5}{3}a_3$，得$3(a_1 + a_2 + a_3) = 5a_3$，解得$a_3 = \frac{3}{2}(a_1 + a_2) = 6$.
(2)由题设知$a_1 = 1$.当$n ＞ 1$时，有$a_n = S_n - S_{n - 1} = \frac{n + 1}{3}a_n - \frac{n}{3}a_{n - 1}$，整理得$a_n = \frac{n + 1}{n - 1}a_{n - 1}$.于是$a_2 = \frac{3}{1}a_1$，$a_3 = \frac{4}{2}a_2$，$·s$，$a_{n - 1} = \frac{n}{n - 2}a_{n - 2}$，$a_n = \frac{n + 1}{n - 1}a_{n - 1}$.将以上$n - 1$个等式等号两端分别相乘，整理得$a_n = \frac{n(n + 1)}{2}$.经检验$a_1 = 1$适合上式.综上可知，$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = \frac{n(n + 1)}{2}$.

19. （17 分）已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=2n^{2}-n + 2$。
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）若$b_{n}=a_{n}+100n - 2^{n}$，求数列$\{ b_{n}\}$的最大项是该数列的第几项。

答案： 19.解：
(1)当$n \geqslant 2$时，$a_n = S_n - S_{n - 1} = (2n^2 - n + 2) - (2n^2 - 5n + 5) = 4n - 3$，当$n = 1$时，$a_1 = S_1 = 3$，不满足上式，故数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = \begin{cases} 3, & n = 1, \\ 4n - 3, & n \geqslant 2. \end{cases}$
(2)由已知得$b_1 = 3 + 100 - 2 = 101$，当$n \geqslant 2$时，$b_n = a_n + 100n - 2^n = 4n - 3 + 100n - 2^n = 104n - 3 - 2^n$，令$\begin{cases} b_n \geqslant b_{n + 1}, \\ b_n \geqslant b_{n - 1}, \end{cases}$即$\begin{cases} 104n - 3 - 2^n \geqslant 104(n + 1) - 3 - 2^{n + 1}, \\ 104n - 3 - 2^n \geqslant 104(n - 1) - 3 - 2^{n - 1}, \end{cases}$ $n \in \mathbf{N}^*$，得$\begin{cases} 2^n \geqslant 104, \\ 104 \geqslant 2^{n - 1}, \end{cases}$ $n \in \mathbf{N}^*$，即$n = 7$，所以当$n \geqslant 2$时，$\{b_n\}$的最大项为第$7$项，又$b_7 = 104 × 7 - 3 - 2^7 = 597 ＞ b_1$，所以数列$\{b_n\}$的最大项是该数列的第$7$项.