《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

15. (13 分)已知等差数列$\{ a_{n}\}$中,$2a_{2}+a_{3}+a_{5}=20$,且前 10 项和$S_{10}=100$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)若$b_{n}=\frac{1}{a_{n}a_{n + 1}}$,求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和.

答案：
(1)
设等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，首项为$a_{1}$。
因为$2a_{2}+a_{3}+a_{5}=20$，则$2(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+(a_{1}+4d)=20$，即$4a_{1}+8d = 20$，化简得$a_{1}+2d = 5$，也就是$a_{3}=5$。
又$S_{10}=10a_{1}+\frac{10×9}{2}d=100$，即$2a_{1}+9d = 20$。
由$\begin{cases}a_{1}+2d = 5\\2a_{1}+9d = 20\end{cases}$，
由$a_{1}+2d = 5$得$a_{1}=5 - 2d$，代入$2a_{1}+9d = 20$，
$2(5 - 2d)+9d = 20$，$10-4d + 9d=20$，$5d = 10$，解得$d = 2$。
把$d = 2$代入$a_{1}=5 - 2d$，得$a_{1}=1$。
所以$a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=1+2(n - 1)=2n - 1$。
(2)
由
(1)知$a_{n}=2n - 1$，则$b_{n}=\frac{1}{a_{n}a_{n + 1}}=\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$。
设数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，
$T_{n}=b_{1}+b_{2}+·s +b_{n}$
$=\frac{1}{2}[(1 - \frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+·s+(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})]$
$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n + 1})=\frac{n}{2n + 1}$。
综上，答案为：
(1)$a_{n}=2n - 1$；
(2)$\frac{n}{2n + 1}$。