《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

17. (15 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 $ r $ 米,高为 $ h $ 米,体积为 $ V $ 立方米.假建设造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 $ 12 000 \pi $ 元($ \pi $ 为圆周率).
(1)将 $ V $ 表示成 $ r $ 的函数 $ V ( r ) $,并求该函数的定义域;
(2)讨论函数 $ V ( r ) $ 的单调性,并确定 $ r $ 和 $ h $ 为何值时该蓄水池的体积最大.

答案： 17.解：
(1)因为蓄水池侧面的总成本为$100·2\pi rh = 200\pi rh$元，底面的总成本为$160\pi r^{2}$元，所以蓄水池的总成本为$(200\pi rh+160\pi r^{2})$元.又根据题意知$200\pi rh+160\pi r^{2}=12000\pi$，所以$h=\frac{1}{5r}(300 - 4r^{2})$，从而$V(r)=\pi r^{2}h=\frac{\pi}{5}(300r - 4r^{3})$.因为$r＞0$，又$h＞0$，可得$r＜5\sqrt{3}$，故函数$V(r)$的定义域为$(0,5\sqrt{3})$.
(2)因为$V(r)=\frac{\pi}{5}(300r - 4r^{3})$，所以$V'(r)=\frac{\pi}{5}(300 - 12r^{2})$.令$V'(r)=0$，解得$r_{1}=5$，$r_{2}=-5$(舍去).当$r\in(0,5)$时，$V'(r)＞0$，故$V(r)$在$(0,5)$上为增函数；当$r\in(5,5\sqrt{3})$时，$V'(r)＜0$，故$V(r)$在$(5,5\sqrt{3})$上为减函数.由此可知，$V(r)$在$r = 5$处取得最大值，此时$h = 8$.即当$r = 5$，$h = 8$时，该蓄水池的体积最大.