《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

10. 已知$f(x)=x^{2}-2x + 1$的导数为$f^{\prime}(x)$,则下列结论正确的是
(BD)

A.$f^{\prime}(x)=2x$
B.$f^{\prime}(x)=2x - 2$
C.$f^{\prime}(2)=f^{\prime}(0)$
D.$f^{\prime}(0) + f^{\prime}(2) = 0$

答案： 10.BD 令$y=f(x)$，由$f(x)=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$的导数为$f^{\prime}(x)$，则$f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x-1)^{2}-(x-1)^{2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(2x-2+\Delta x)=2x-2$，得$f^{\prime}(0)=-2$，$f^{\prime}(2)=2$，$f^{\prime}(0)+f^{\prime}(2)=0$.

11. 若直线$y = kx + 1$与曲线$f(x) = x^{3} + ax + b$相切于点$A(1,3)$,则正确的是
(ABC)

A.$a = - 1$
B.$b = 3$
C.$k = 2$
D.$f^{\prime}(1) = 3$

答案： 11.ABC 依导数定义可求得，$f^{\prime}(x)=3x^{2}+a$，
则有：$\begin{cases}1^{3}+a+b=3,\\3×1^{2}+a=k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=3,\end{cases}f^{\prime}(1)=k$，
$k+1=3$，
$=2$，D错.

12. 过曲线$y = x^{2}$上两点$A(2,4)$和$B(2 + \Delta x,4 + \Delta y)$作割线$,$当$\Delta x = 0.1$时$,$割线 AB 的斜率为4.1.

答案： 12.解析：割线AB的斜率$k_{AB}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(\Delta x+2)^{2}-2^{2}}{\Delta x}=\frac{(\Delta x)^{2}+4\Delta x}{\Delta x}=\Delta x+4$，所以当$\Delta x=0.1$时，割线AB的斜率为4.1
答案：4.1

13. 汽车行驶的路程$s$和时间$t$之间的函数图象如图所示.在时间段$[t_{0},t_{1}],[t_{1},t_{2}],[t_{2},t_{3}]$上的平均速度分别为$\overline{v_{1}},\overline{v_{2}},\overline{v_{3}}$,其三者的大小关系是$\overset{\rightarrow}{v_{3}}＞\overset{\rightarrow}{v_{2}}＞\overset{\rightarrow}{v_{1}}$.

答案： 13.解析：因为$\overset{\rightarrow}{v_{1}}=\frac{s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}=k_{MA}$，$\overset{\rightarrow}{v_{2}}=\frac{s(t_{2})-s(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=k_{AB}$，$\overset{\rightarrow}{v_{3}}=\frac{s(t_{3})-s(t_{2})}{t_{3}-t_{2}}=k_{BC}$，
由图象可知：$k_{MA}＜k_{AB}＜k_{BC}$，所以$\overset{\rightarrow}{v_{3}}＞\overset{\rightarrow}{v_{2}}＞\overset{\rightarrow}{v_{1}}$.
答案：$\overset{\rightarrow}{v_{3}}＞\overset{\rightarrow}{v_{2}}＞\overset{\rightarrow}{v_{1}}$

14. 若抛物线$y = x^{2} - x + c$上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为4.

答案： 14.解析：$y^{\prime}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x-1$，抛物线在点P处切线的斜率为$2×(-2)-1=-5$.因为点P的横坐标是-2，所以点P的纵坐标是$6+c$，故直线$OP$的斜率为$-\frac{6+c}{2}$，根据题意有$-\frac{6+c}{2}=-5$，解得$c=4$.
答案：4

15. (13 分)一条水管中流过的水量y(单位$:m^{3})$与时间t(单位:s)之间的函数关系为y = f(t) = 3t.求函数y = f(t)在t = 2处的导数$f^{\prime}(2),$并解释它的实际意义.

答案： 15.解：因为$\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{f(2+\Delta t)-f(2)}{\Delta t}=\frac{3(2+\Delta t)-3×2}{\Delta t}=3$，
所以$f^{\prime}(2)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t}=3$.
$f^{\prime}(2)$的实际意义：水流在$t=2s$时的瞬时流速为$3m^{3}/s$.