《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

18. （17 分）已知函数 $ f(x) = x^2 + ax - \ln x $.
（1）若 $ a = 1 $，求函数 $ y = f(x) $ 的最小值；
（2）若函数 $ y = f(x) $ 在 $ [1,2] $ 上单调递减，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 18.解：
(1)若$a = 1$，则$f(x)=x^{2}+x-\ln x$，$x＞0$。$\therefore f^{\prime}(x)=2x + 1-\frac{1}{x}=\frac{2x^{2}+x - 1}{x}=\frac{(2x - 1)(x + 1)}{x}$，$\therefore f(x)$在$(0,\frac{1}{2})$上单调递减，在$(\frac{1}{2},+\infty)$上单调递增，$\therefore f(x)_{\min}=f(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}-\ln\frac{1}{2}=\frac{3}{4}+\ln2$。
(2)由已知得$f^{\prime}(x)=2x + a-\frac{1}{x}\leq0$在$[1,2]$上恒成立，$\therefore a\leq\frac{1}{x}-2x$在$[1,2]$上恒成立。令$g(x)=\frac{1}{x}-2x$，$x\in[1,$2$]$，则$g^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}-2＜0$，$\therefore g(x)$在$[1,2]$上单调递减，$\therefore g(x)_{\min}=g(2)=-\frac{7}{2}$，$\therefore a\leq-\frac{7}{2}$，即$a$的取值范围为$(-\infty,-\frac{7}{2}]$。

19. （17 分）已知函数 $ f(x) = 2x^3 - ax^2 + 1 $.
（1）讨论 $ f(x) $ 的单调性；
（2）是否存在 $ a $，使得 $ f(x) $ 在区间 $ [0,1] $ 上的最小值为 $ -1 $ 且最大值为 1？若存在，求出 $ a $ 的所有值；若不存在，说明理由.

答案： 19.解：
(1)$f^{\prime}(x)=6x^{2}-2ax=6x(x-\frac{a}{3})$。令$f^{\prime}(x)=6x(x-\frac{a}{3})=0$，解得$x = 0$或$x=\frac{a}{3}$。当$a = 0$时，$f^{\prime}(x)=6x^{2}\geq0$恒成立，函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增；当$a＞0$时，令$f^{\prime}(x)＞0$，得$x＞\frac{a}{3}$或$x＜0$，令$f^{\prime}(x)＜0$，得$0＜x＜\frac{a}{3}$，即函数$f(x)$在$(-\infty,0)$和$(\frac{a}{3},+\infty)$上单调递增，在$(0,\frac{a}{3})$上单调递减；当$a＜0$时，令$f^{\prime}(x)＞0$，得$x＞0$或$x＜\frac{a}{3}$，令$f^{\prime}(x)＜0$，得$\frac{a}{3}＜x＜0$，即函数$f(x)$在$(-\infty,\frac{a}{3})$和$(0,+\infty)$上单调递增，在$(\frac{a}{3},0)$上单调递减。综上所述，当$a = 0$时，函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增；当$a＞0$时，函数$f(x)$在$(-\infty,0)$和$(\frac{a}{3},+\infty)$上单调递增，在$(0,\frac{a}{3})$上单调递减；当$a＜0$时，函数$f(x)$在$(-\infty,\frac{a}{3})$和$(0,+\infty)$上单调递增，在$(\frac{a}{3},0)$上单调递减。
(2)存在，理由如下：由
(1)可得，当$a\leq0$时，函数$f(x)$在$[0,1]$上单调递增，则最小值为$f(0)=1$，不符合题意；当$a＞0$时，函数$f(x)$在$[0,\frac{a}{3}]$上单调递减，在$(\frac{a}{3},1]$上单调递增。当$\frac{a}{3}\geq1$，即$a\geq3$时，函数$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，$f(x)$的最大值为$f(0)=1$，最小值为$f(1)=2 - a + 1=-1$，解得$a = 4$，满足题意；当$0＜\frac{a}{3}＜1$，即$0＜a＜3$时，函数$f(x)$在$[0,\frac{a}{3}]$上单调递减，在$(\frac{a}{3},1]$上单调递增，$f(x)$的最小值为$f(\frac{a}{3})=2·(\frac{a}{3})^{3}-a·(\frac{a}{3})^{2}+1=-1$，化为$-\frac{a^{3}}{27}=-2$，解得$a = 3\sqrt[3]{2}＞3$，不符合题意。综上可得，$a$的值为4。