《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 已知函数 $ f(x)=\frac{x^{2}+\sin x}{x} $,则该函数的导函数 $ f^{\prime}(x)= $ (B)

A.$ \frac{2 x+\cos x}{x^{2}} $
B.$ \frac{x^{2}+x \cos x-\sin x}{x^{2}} $
C.$ \frac{2 x+x \cos x-\sin x}{x^{2}} $
D.$ 2 x-\cos x $

答案： 1.B 由题意可得$f^\prime(x)$
$=\frac{(2x+\cos x)x-(x^2+\sin x)}{x^2}$
$=\frac{x^2+x\cos x-\sin x}{x^2}$

2. 已知函数 $ f(x) $ 是偶函数, 当 $ x＞0 $ 时, $ f(x)=x \ln x+1 $, 则曲线 $ y=f(x) $ 在 $ x=-1 $ 处的切线方程为 (A)

A.$ y=-x $
B.$ y=-x+2 $
C.$ y=x $
D.$ y=x-2 $

答案： 2.A 因为当$x＜0$时，$f(x)=f(-x)$
$=-x\ln(-x)+1$，所以$f(-1)=1$，
$f^\prime(x)=-\ln(-x)-1,f^\prime(-1)=-1$，所以曲线$y=f(x)$在$x=-1$处的切线方程为$y-1=$
$-(x+1)$，即$y=-x$。

3. 已知函数 $ f(x)=x \sin x+a x $, 且 $ f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 $, 则 $ a= $ (A)

A.0
B.1
C.2
D.4

答案： 3.A 因为$f^\prime(x)=\sin x+x\cos x+a$，且$f^\prime(\frac{\pi}{2})=1$，
所以$\sin\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}+a=1$，即$a=0$.

4. 设 $ f(x)=x^{2}-2 x-4 \ln x $, 则 $ f^{\prime}(x)＞0 $ 的解集为 (C)

A.$ (0,+\infty) $
B.$ (-1,0) \cup(2,+\infty) $
C.$ (2,+\infty) $
D.$ (-1,0) $

答案： 4.C $f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，又$f^\prime(x)=2x-2$
$-\frac{4}{x}=\frac{2(x-2)(x+1)}{x}＞0$.解得$x＞2$.
所以$f^\prime(x)＞0$的解集为$(2,+\infty)$。

5. 已知函数 $ f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right) $, 则 $ f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)= $ (D)

A.$ \frac{1}{2} $
B.1
C.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D.$ \sqrt{3} $

答案： 5.D $f^\prime(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{6})·(2x-\frac{\pi}{6})^\prime$
$=2\cos(2x-\frac{\pi}{6})$，
则$f^\prime(\frac{\pi}{6})=2\cos(2×\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6})=2\cos\frac{\pi}{6}=\sqrt{3}$.

6. 已知曲线 $ y=\frac{x^{2}}{2}-3 \ln x $ 的一条切线的斜率为 2, 则切点的横坐标为 (A)

A.3
B.2
C.1
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 6.A 设切点坐标为$(x_0,y_0)$，且$x_0＞0$，因为$y=$
$\frac{x^2}{2}-3\ln x$，所以$y^\prime=x-\frac{3}{x}$，再由题意可得$x_0-$
$\frac{3}{x_0}=2$，所以$x_0=3$.

7. 等比数列 $ \left\{a_{n}\right\} $ 中, $ a_{1}=2, a_{8}=4 $, 函数 $ f(x)=x\left(x-a_{1}\right) ·\left(x-a_{2}\right) ·s\left(x-a_{8}\right) $, 则 $ f^{\prime}(0) $ 等于 (D)

A.$ 2^{6} $
B.$ 2^{9} $
C.$ 2^{15} $
D.$ 2^{12} $

答案： 7.D 因为$a_1=2,a_8=4$，又$f^\prime(x)=(x-a_1)$
$(x-a_2)·s(x-a_8)+x[(x-a_1)(x-a_2)·s$
$(x-a_8)]^\prime$，所以$f^\prime(0)=a_1a_2·s a_8=(a_1a_8)^4=8^4$
$=2^{12}$.

8. 设 $ f_{0}(x)=\sin 2 x+\cos 2 x, f_{1}(x)=f_{0}^{\prime}(x), f_{2}(x)=f_{1}^{\prime}(x), ·s, f_{1+n}(x)=f_{n}^{\prime}(x), n \in \mathbf{N} $, 则 $ f_{2025}(x)= $ (C)

A.$ 2^{2025}(\cos 2 x+\sin 2 x) $
B.$ 2^{2025}(-\cos 2 x-\sin 2 x) $
C.$ 2^{2025}(\cos 2 x-\sin 2 x) $
D.$ 2^{2025}(-\cos 2 x+\sin 2 x) $

答案： 8.C $\because f_0(x)=\sin2x+\cos2x,\therefore f_1(x)=$
$f_0^\prime(x)=2(\cos2x-\sin2x),f_2(x)=f_1^\prime(x)=$
$2^2(-\sin2x-\cos2x),f_3(x)=f_2^\prime(x)=$
$2^3(-\cos2x+\sin2x),f_4(x)=f_3^\prime(x)=$
$2^4(\sin2x+\cos2x)$，通过以上可以看出$f_n(x)$满足以下规律：对任意$n\in\mathbf{N},f_{n+4}(x)=$
$2^4f_n(x)$.故$f_{2025}(x)=f_{506×4+1}(x)=2^{2025}(\cos2x$
$-\sin2x)$.