《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. (15 分) 已知函数 $ f(x)=a x^{2}+b x+3(a \neq 0) $, 其导函数 $ f^{\prime}(x)=2 x-8 $.
(1) 求 $ a, b $ 的值;
(2) 设函数 $ g(x)=e^{x} \sin x+f(x) $, 求曲线 $ g(x) $ 在 $ x=0 $ 处的切线方程.

答案： 16.解：
(1)因为$f(x)=ax^2+bx+3(a\neq0)$，
所以$f^\prime(x)=2ax+b$，
又知$f^\prime(x)=2x-8$，
所以$a=1,b=-8$.
(2)由
(1)可知$g(x)=\mathrm{e}^x\sin x+x^2-8x+3$，
所以$g^\prime(x)=\mathrm{e}^x\sin x+\mathrm{e}^x\cos x+2x-8$，
所以$g^\prime(0)=\mathrm{e}^0\sin0+\mathrm{e}^0\cos0+2×0-8=-7$，
又知$g(0)=3$，
所以$g(x)$在$x=0$处的切线方程为$y-3=$
$-7(x-0)$.
即$7x+y-3=0$.

17. (15 分) 已知函数 $ y=x^{2} \ln x $.
(1) 求这个函数的图象在 $ x=1 $ 处的切线方程;
(2) 若过点 $ (0,0) $ 的直线 $ l $ 与这个函数的图象相切, 求直线 $ l $ 的方程.

答案： 17.解：
(1)函数$y=x^2\ln x$的导数为$y^\prime=2x\ln x$
$+x$，
函数的图象在$x=1$处的切线斜率为$2\ln1+1=1$，
切点为$(1,0)$，
可得切线的方程为$y-0=x-1$，
即为$y=x-1$；
(2)设切点为$(m,m^2\ln m)$，
可得切线的斜率为$2m\ln m+m$，
即有切线的方程为$y-m^2\ln m=(2m\ln m+m)(x-m)$，
由于直线$l$过$(0,0)$，可得$-m^2\ln m=(2m\ln m+m)(-m)$，
由$m＞0$，可得$-\ln m=-2\ln m-1$，
即为$\ln m=-1$，解得$m=\frac{1}{\mathrm{e}}$，
可得切线的斜率为$-\frac{1}{\mathrm{e}}$，
则切线$l$的方程为$y=-\frac{1}{\mathrm{e}}x$.