《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. (15 分)已知函数 $f(x)=\ln x - \frac{1}{2}ax^2 + x(a\in\mathbf{R})$,函数 $g(x)=-2x + 3$.判断函数 $F(x)=f(x)+\frac{1}{2}ag(x)$ 的单调性.

答案： 16.解：由题意得$F(x) = f(x) + \frac{1}{2}ag(x) = \ln x - \frac{1}{2}ax^{2} + (1 - a)x + \frac{3}{2}a,x \in (0, +\infty)$，
$\therefore F^{\prime}(x) = \frac{1}{x} - ax + 1 - a = \frac{-ax^{2} + (1 - a)x + 1}{x} = \frac{(-ax + 1)(x + 1)}{x}$
当$a \leq 0$时，$F^{\prime}(x) \geq 0$，函数$F(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增.
当$a ＞ 0$时，令$F^{\prime}(x) ＞ 0$，解得$0 ＜ x ＜ \frac{1}{a}$，则$F(x)$在$(0,\frac{1}{a})$上单调递增；令$F^{\prime}(x) ＜ 0$，解得$x ＞ \frac{1}{a}$，则$F(x)$在$(\frac{1}{a}, +\infty)$上单调递减.
综上，当$a \leq 0$时，函数$F(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增；当$a ＞ 0$时，函数$F(x)$在$(0,\frac{1}{a})$上单调递增，在$(\frac{1}{a}, +\infty)$上单调递减.

17. (15 分)设 $a＞1$,函数 $f(x)=(1 + x^2)e^x - a$.
(1) 求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 证明:$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上仅有一个零点.

答案： 17.解：
(1)$f^{\prime}(x) = 2xe^{x} + (1 + x^{2})e^{x} = (x^{2} + 2x + 1)e^{x} = (x + 1)^{2}e^{x} \geq 0$，故$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，即$f(x)$的单调递增区间是$(-\infty, +\infty)$，无单调递减区间.
(2)证明：因为$f(0) = (1 + 0^{2})e^{0} - a = 1 - a ＜ 0$，且$f(\ln a) = [1 + (\ln a)^{2}]e^{\ln a} - a = [1 + (\ln a)^{2}]a - a = a(\ln a)^{2} ＞ 0$，
所以由函数零点存在定理知，$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上至少有一个零点.
又由
(1)知，函数$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上单调递增，
故函数$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上仅有一个零点.