《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. (15 分)某物体按照$s(t) = 3t^{2} + 2t + 4(s$的单位:m)的规律做直线运动,求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬间速度.

答案： 16.解：自运动开始到$t$s时，物体运动的平均速度$\overset{-}{v}(t)=\frac{s(t)}{t}=3t+2+\frac{4}{t}$，
故前4s物体的平均速度为
$\overset{-}{v}(4)=3×4+2+\frac{4}{4}=15(m/s)$.
由于$\Delta s=3(t+\Delta t)^{2}+2(t+\Delta t)+4-(3t^{2}+2t+4)=(2+6t)\Delta t+3(\Delta t)^{2}$.
$\frac{\Delta s}{\Delta t}=2+6t+3·\Delta t$，
$\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=2+6t$，
当$t=4$时，$\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=2+6×4=26$，
所以4s时物体的瞬时速度为26m/s.

17. (15 分)如图表示物体运动的路程随时间变化的函数$f(t) = 4t - 2t^{2}$的图象$,$试根据图象描述、比较曲线$f(t)$在$t_{1},t_{2}$附近的变化情况.

答案： 17.解：$f(t)$对$t$的导数即为在该点处的切线的斜率.
用曲线$f(t)$在$t_{1},t_{2}$处的切线刻画曲线$f(t)$在$t_{1},t_{2}$附近的变化情况.
(1)当$t=t_{1}$时，曲线$f(t)$在$t_{1}$处的切线$l_{1}$的斜率$f^{\prime}(t_{1})＜0$，所以在$t=t_{1}$附近曲线下降，即函数$f(t)$在$t=t_{1}$附近单调递减.
(2)当$t=t_{2}$时，曲线$f(t)$在$t_{2}$处的切线$l_{2}$的斜率$f^{\prime}(t_{2})＜0$，所以在$t=t_{2}$附近曲线下降，即函数$f(t)$在$t=t_{2}$附近也单调递减.
由题图可以看出直线$l_{1}$的倾斜程度小于直线$l_{2}$的倾斜程度，说明曲线$f(t)$在$t_{1}$附近比在$t_{2}$附近下降得缓慢.