《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

18. (17 分) 某地区发生流行性病毒感染, 居住在该地区的居民必须服用一种药片预防, 规定每人每天上午 8 时和晚上 8 时各服一片. 现知该药片每片含药量为 220 毫克, 若人的肾脏每 12 小时从体内滤出这种药的 60\%, 该药物在人体内的残留量超过 380 毫克, 就将产生副作用.
(1) 某人上午 8 时第一次服药, 问到第二天上午 8 时服完药后, 这种药在他体内还残留多少?
(2) 若人长期服用这种药, 这种药会不会对人体产生副作用? 说明理由.

答案： 18.解：
(1)设人第$n$次服药后，药在体内的残留量
为$a_n$毫克，则$a_1=220$，
$a_2=220+a_1×(1-60\%)=220×1.4=308$，
$a_3=220+a_2×(1-60\%)=343.2$，
即到第二天上午8时服完药后，这种药在他体
内还残留343.2毫克.
(2)由题意，得$a_{n+1}=220+\frac{2}{5}a_n$，
$\therefore a_{n+1}-\frac{1100}{3}=\frac{2}{5}(a_n-\frac{1100}{3})$，
$\therefore\{ a_n-\frac{1100}{3} \}$是以$a_1-\frac{1100}{3}=-\frac{440}{3}$为首项，$\frac{2}{5}$
为公比的等比数列，
$\therefore a_n-\frac{1100}{3}=-\frac{440}{3}(\frac{2}{5})^{n-1}$，
$\because-\frac{440}{3}(\frac{2}{5})^{n-1}＜0$，$\therefore a_n＜\frac{1100}{3}=366\frac{2}{3}$，
$\therefore a_n＜380$. 故若人长期服用这种药，这种药不
会对人体产生副作用.

19. (17 分) 已知$a_{1}=2$, 点$(a_{n},a_{n + 1})$在函数$f(x)=x^{2}+2x$的图象上, 其中$n = 1,2,3,·s$.
(1) 求证数列$\{\lg (1 + a_{n})\}$是等比数列;
(2) 设$T_{n}=(1 + a_{1})(1 + a_{2})·s (1 + a_{n})$, 求$T_{n}$及数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(3) 记$b_{n}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n}+2}$, 求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$, 并说明$S_{n}+\frac{2}{3T_{n}-1}=1$.

答案： 19.解：
(1)证明：由已知得$a_{n+1}=a_n^2+2a_n$，
$\therefore a_{n+1}+1=(a_n+1)^2$.
$\because a_1=2$，$\therefore a_n+1＞1$，
两边取对数得$\lg(1+a_{n+1})=2\lg(1+a_n)$，
即$\frac{\lg(1+a_{n+1})}{\lg(1+a_n)}=2$.
$\therefore$数列$\{\lg(1+a_n)\}$是公比为2的等比数列.
(2)由
(1)知$\lg(1+a_n)=2^{n-1}·\lg(1+a_1)=2^{n-1}·\lg3=\lg3^{2^{n-1}}$，
$\therefore1+a_n=3^{2^{n-1}}$. $(*)$
$\therefore T_n=(1+a_1)(1+a_2)·s(1+a_n)=3^{2^0}·3^{2^1}·3^{2^2}··s·3^{2^{n-1}}=3^{1+2+2^2+·s+2^{n-1}}=3^{2^n-1}$.
由$(*)$式得$a_n=3^{2^{n-1}}-1$.
(3)$\because a_{n+1}=a_n^2+2a_n$，
$\therefore a_{n+1}=a_n(a_n+2)$，
$\therefore\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_n+2})$，
$\therefore\frac{1}{a_n+2}=\frac{1}{a_n}-\frac{2}{a_{n+1}}$.
又$\because b_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_n+2}$，
$\therefore b_n=2(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})$，
$\therefore S_n=b_1+b_2+·s+b_n=2(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}+·s+\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})=2(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}})$.
$\because a_n=3^{2^{n-1}}-1$，
$\therefore a_{n+1}=3^{2^n}-1$，又$\because a_1=2$，
$\therefore S_n=1-\frac{2}{3^{2^n}-1}$
又$\because T_n=3^{2^n}-1$，
$\therefore S_n+\frac{2}{3T_n-1}=1-\frac{2}{3^{2^n}-1}+\frac{2}{3^{2^n}-1}=1$.