《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

9. 已知正项等比数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=2$,$a_{4}=2a_{2}+a_{3}$,若设其公比为$q$,前$n$项和为$S_{n}$,则 ()

A.$q = 2$
B.$a_{n}=2^{n}$
C.$S_{10}=2047$
D.$a_{n}+a_{n + 1}＜a_{n + 2}$

答案： ABD

10. 已知两个等差数列$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$的前$n$项和分别为$S_{n}$和$T_{n}$,且$\frac{S_{n}}{T_{n}}=\frac{3n + 39}{n + 3}$,则使得$\frac{a_{n}}{b_{n}}$为整数的正整数$n$的值为 ()

A.2
B.3
C.4
D.14

答案： ACD

11. 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则下列说法正确的有 ()


A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B.春分和秋分两个节气的晷长相同
C.立冬的晷长为一丈五寸
D.立春的晷长比立秋的晷长短

答案： ABC

12. 设$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和,若$S_{n}=\begin{cases}8,n = 1,\\4^{n},n\geq2,n\in\mathbf{N}^{*},\end{cases}$则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为 ______ _ .

答案： $a_{n}=\begin{cases}8,n = 1,2\\3×4^{n - 1},n\geqslant3,n\in\mathbf{N}^{*}\end{cases}$

13. 已知$\{ a_{n}\}$和$\{ b_{n}\}$是两个等差数列,且$\frac{a_{k}}{b_{k}}(1\leq k\leq5)$是常数.若$a_{1}=288$,$a_{5}=96$,$b_{1}=192$,则$b_{3}=$_ .

答案： 128

14. 设$S_{n}$是数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和,且$a_{1}=1$,$a_{n + 1}+S_{n}S_{n + 1}=0$,则$S_{n}=$_ ,数列$\{ S_{n}S_{n + 1}\}$的前$n$项和为_ .

答案： $\frac{1}{n}$，$\frac{n}{n + 1}$