《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. (15 分)已知$\{ a_{n}\}$是等比数列,$S_{n}=2^{n + 1}-2$是其前$n$项和.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)设$b_{n}=a_{n}+\log _{4}a_{n}$,求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 解：
(1)因为$S_{n}=2^{n+1}-2$，当$n\geqslant2$时，$S_{n-1}=2^{n}-2$，所以$S_{n}-S_{n-1}=a_{n}=2^{n+1}-2-(2^{n}-2)=2^{n}$，当$n=1$时，$a_{1}=S_{1}=2^{2}-2=2$，满足上式，所以数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2^{n}$.
(2)由
(1)可得$b_{n}=a_{n}+\log_{4}a_{n}=2^{n}+\frac{n}{2}$，所以数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}=(2+2^{2}+2^{3}+·s+2^{n})+\frac{1}{2}(1+2+3+·s+n)=\frac{2(1-2^{n})}{1-2}+\frac{n(n+1)}{2×2}=2^{n+1}-2+\frac{n^{2}+n}{4}$.

17. (15 分)记$S_{n}$为等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和.已知$S_{2}=2$,$S_{3}=-6$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)求$S_{n}$,并判断$S_{n + 1}$,$S_{n}$,$S_{n + 2}$是否成等差数列.

答案： 解：
(1)设$\{a_{n}\}$的公比为$q$.由题意可得$\begin{cases}a_{1}(1+q)=2,\\a_{1}(1+q+q^{2})=-6,\end{cases}$解得$\begin{cases}q=-2,\\a_{1}=-2.\end{cases}$故$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=(-2)^{n}$.
(2)由
(1)可得$S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}$ $=\frac{-2}{3}+(-1)^{n}\frac{2^{n+1}}{3}$.由于$S_{n+2}+S_{n+1}=-\frac{4}{3}+(-1)^{n}\frac{2^{n+3}-2^{n+2}}{3}$ $=2[-\frac{2}{3}+(-1)^{n}·\frac{2^{n+1}}{3}]=2S_{n}$，故$S_{n+1},S_{n},S_{n+2}$成等差数列.