《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

9. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=-\frac{1}{2},a_{n + 1}=\frac{1}{1 - a_{n}}$, 则下列各数是$\{ a_{n}\}$的项的有 (BD)

A.-2
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.3

答案： 9.BD $\because$数列$\{ a_n \}$满足$a_1=-\frac{1}{2},a_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}$
$\therefore a_2=\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{2}{3},a_3=\frac{1}{1-a_2}=3,a_4=\frac{1}{1-a_3}=-\frac{1}{2}=a_1$，$\therefore$数列$\{ a_n \}$是周期为3的数
列，且前3项为$-\frac{1}{2},\frac{2}{3},3$，故选BD.

10. 设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$, 且满足$a_{6}=8a_{3}$, 则 (AD)

A.数列$\{ a_{n}\}$的公比为 2
B.数列$\{ a_{n}\}$的公比为 8
C.$\frac{S_{6}}{S_{3}}=8$
D.$\frac{S_{6}}{S_{3}}=9$

答案： 10.AD 因为等比数列$\{ a_n \}$的前$n$项和为$S_n$，且
满足$a_6=8a_3$，所以$\frac{a_6}{a_3}=q^3=8$，解得$q=2$，所以
$\frac{S_6}{S_3}=\frac{1-q^6}{1-q^3}=1+q^3=9$. 故选AD.

11. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,$a_{1}=1,a_{2}=2$, 且对于任意$n\gt 1,n\in \mathbf{N}^{*}$, 满足$S_{n + 1}+S_{n - 1}=2(S_{n}+1)$, 则 (BD)

A.$a_{9}=17$
B.$a_{10}=18$
C.$S_{9}=81$
D.$S_{10}=91$

答案： 11.BD $\because$对于任意$n＞1,n\in N^*$，满足$S_{n+1}+S_{n-1}=2(S_n+1)$，
$\therefore S_{n+1}-S_n=S_n-S_{n-1}+2$，
$\therefore a_{n+1}-a_n=2$.
数列$\{ a_n \}$在$n\geq2$时是等差数列，公差为2.
又$a_1=1,a_2=2$，
则$a_9=2+7×2=16,a_{10}=2+8×2=18,S_9=1+8×2+\frac{8×7}{2}×2=73,S_{10}=1+9×2+\frac{9×8}{2}×2=91$. 故选BD.

12. 记$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和. 若$a_{1}=-2,a_{2}+a_{6}=2$, 则$S_{10}=$25.

答案： 12.解析：方法一：设等差数列$\{ a_n \}$的公差为$d$，则
由$a_2+a_6=2$，得$a_1+d+a_1+5d=2$，又$a_1=-2$，
$\therefore-4+6d=2$，解得$d=1$，所以$S_{10}=10×(-2)+\frac{10×9}{2}×1=25$.
方法二：设等差数列$\{ a_n \}$的公差为$d$，因为$a_2+a_6=2a_4=2$，所以$a_4=1$，所以$d=\frac{a_4-a_1}{4-1}=\frac{1-(-2)}{3}=1$，所以$S_{10}=10×(-2)+\frac{10×9}{2}×1=25$.
答案：25

13. 已知数列$\{ a_{n}\}$是等比数列, 满足$a_{5}a_{11}=4a_{8}$, 数列$\{ b_{n}\}$是等差数列, 且$b_{8}=a_{8}$, 则$b_{7}+b_{9}=$8.

答案： 13.解析：$\because$数列$\{ a_n \}$是等比数列，$\therefore a_5a_{11}=a_8^2=4a_8$，又$a_8\neq0$，$\therefore a_8=4$.
又$\{ b_n \}$是等差数列，$b_8=a_8$，$\therefore b_7+b_9=2b_8=2a_8=8$.
答案：8

14. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,$a_{4}=7$且$4S_{n}=n(a_{n}+a_{n + 1})$, 则$S_{n}-8a_{n}$的最小值为-56.

答案： 14.解析：$\because4S_3=3(a_3+7),4S_2=2(a_2+a_3),4S_1=a_1+a_2$，$\therefore a_2=3a_1,a_3=5a_1$，从而$4×9a_1=3(5a_1+7)$，即$a_1=1$，$\therefore a_2=3,a_3=5$，又$4S_4=4(a_4+a_5)$，$\therefore a_5=9$. 同理得$a_6=11,a_7=13,a_8=15,·s,a_n=2n-1$，$\therefore S_n=n^2$. 经检验$4S_n=n(a_n+a_{n+1})$成立，$\therefore a_n=2n-1,S_n=n^2$，$\therefore S_n-8a_n=n^2-16n+8=(n-8)^2-56$，$\therefore$当$n=8$
时，$S_n-8a_n$取得最小值$-56$.
答案：$-56$

15. (13 分) 已知$\{ a_{n}\}$是等差数列, 且$a_{1}+a_{2}+a_{3}=12,a_{8}=16$.
(1) 求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2) 若从数列$\{ a_{n}\}$中依次取出第 2 项, 第 4 项, 第 6 项, $·s$, 第$2n$项, 按原来的顺序组成一个新数列$\{ b_{n}\}$, 试求出数列$\{ b_{n}\}$的通项公式.

答案： 15.解：
(1)设等差数列$\{ a_n \}$的公差为$d$.
$\because a_1+a_2+a_3=12$，$\therefore a_2=4$.
$\because a_8=a_2+(8-2)d$，$\therefore16=4+6d$，解得$d=2$.
$\therefore a_n=a_2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n$.
(2)由
(1)可知，$a_2=4,a_4=8,a_6=12,a_8=16$，
$·s,a_{2n}=2×2n=4n$.
当$n\geq2$时，$a_{2n}-a_{2(n-1)}=4n-4(n-1)=4$，
$\therefore\{ b_n \}$是以4为首项，4为公差的等差数列，
$\therefore b_n=4+4(n-1)=4n$.