《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

15. (13 分) 设 $f(x) = a\ln x - x + 4$, ($a \in \mathbf{R}$), 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线垂直于 $y$ 轴.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 求函数 $y = f(x)$ 的单调区间.

答案： 15.解:
(1)由于$f'(x)=\frac{a}{x}-1$,依题意$f'(1)=\frac{a}{1}-1=0$,解得$a=1$.
(2)由
(1)知$f(x)=\ln x-x+4(x＞0)$,$f'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}(x＞0)$,当$x＞1$时,$f'(x)＜0$,当$0＜x＜1$时,$f'(x)＞0$,所以$f(x)$在$(0,1)$上单调递增,在$(1,+\infty)$上单调递减,即$f(x)$的单调递增区间为$(0,1)$,单调递减区间为$(1,+\infty)$.