《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

10. 记单调递增的等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,若$a_{2}+a_{4}=10$,$a_{2}a_{3}a_{4}=64$,则 (BC)

A.$S_{n + 1}-S_{n}=2^{n + 1}$
B.$a_{n}=2^{n - 1}$
C.$S_{n}=2^{n}-1$
D.$S_{n}=2^{n - 1}-1$

答案： BC 因为数列$\{a_{n}\}$为单调递增的等比数列，且$a_{2}+a_{4}=10＞0$，所以$a_{n}＞0$，因为$a_{2}a_{3}a_{4}=64$，所以$a_{3}^{3}=64$，解得$a_{3}=4$，因为$a_{2}+a_{4}=10$，所以$\frac{4}{q}+4q=10$，即$2q^{2}-5q+2=0$.解得$q=2$或$\frac{1}{2}$，又数列$\{a_{n}\}$为单调递增的等比数列，取$q=2$，$a_{1}=\frac{a_{3}}{q^{2}}=\frac{4}{4}=1$，所以$a_{n}=2^{n-1},S_{n}=\frac{2^{n}-1}{2-1}=2^{n}-1,S_{n+1}-S_{n}=2^{n+1}-1-(2^{n}-1)=2^{n}$.

11. 在公比$q$为整数的等比数列$\{ a_{n}\}$中,$S_{n}$是数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和.若$a_{1}+a_{4}=18$,$a_{2}+a_{3}=12$,则下列说法正确的有 (ABC)

A.$q = 2$
B.数列$\{ S_{n}+2\}$是等比数列
C.$S_{8}=510$
D.数列$\{ \lg a_{n}\}$是公差为$2$的等差数列

答案： ABC $\because a_{1}+a_{4}=18,a_{2}+a_{3}=12$，且公比$q$为整数，$\therefore\begin{cases}a_{1}+a_{1}q^{3}=18,\\a_{1}q+a_{1}q^{2}=12,\end{cases}$ $\begin{cases}a_{1}=2,\\q=2\end{cases}$或$\begin{cases}a_{1}=16,\\q=\frac{1}{2}\end{cases}$(舍)，故A正确；$S_{n}=\frac{2(1-2^{n})}{1-2}=2^{n+1}-2,\therefore S_{8}=510$，故C正确；$\therefore S_{n}+2=2^{n+1}$，故数列$\{S_{n}+2\}$是等比数列，故B正确；$\because \lg a_{n}=\lg 2^{n}=n\lg 2$，故数列$\{\lg a_{n}\}$是公差为$\lg2$的等差数列，故D错误.故选ABC.

12. 设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,已知$S_{4}=2$,$S_{8}=6$,则$a_{17}+a_{18}+a_{19}+a_{20}$的值为32.

答案： 解析：由等比数列前$n$项和的性质，可知$S_{4}$，$S_{8}-S_{4},S_{12}-S_{8},·s,S_{4n}-S_{4n-4},·s$成等比数列.由题意可知上面数列的首项为$S_{4}=2$，公比为$\frac{S_{8}-S_{4}}{S_{4}}=2$，故$S_{4n}-S_{4n-4}=2^{n}(n\geqslant2)$，所以$a_{17}+a_{18}+a_{19}+a_{20}=S_{20}-S_{16}=2^{5}=32$.答案：32

13. 设等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,若$a_{3}a_{11}=2a_{5}^{2}$,且$S_{4}+S_{12}=\lambda S_{8}$,则$\lambda=$$\frac{8}{3}$.

答案： 解析：设数列$\{a_{n}\}$的公比为$q(q\neq0)$.$\because a_{3}a_{11}=2a_{5}^{2},\therefore a_{7}^{2}=2a_{5}^{2},\therefore q^{4}=2,\therefore q\neq1$.$\because S_{4}+S_{12}=\lambda S_{8},\therefore\frac{a_{1}(1-q^{4})}{1-q}+\frac{a_{1}(1-q^{12})}{1-q}$ $=\lambda\frac{a_{1}(1-q^{8})}{1-q}$，整理得，$1-q^{4}+1-q^{12}=\lambda(1-q^{8})$，将$q^{4}=2$代入可得$\lambda=\frac{8}{3}$.答案：$\frac{8}{3}$

14. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,斜边$BC = 2\sqrt {2}$,过点$A$作$BC$的垂线,垂足为$A_{1}$;过点$A_{1}$作$AC$的垂线,垂足为$A_{2}$;过点$A_{2}$作$A_{1}C$的垂线,垂足为$A_{3}$;$·s$,以此类推,设$BA = a_{1}$,$AA_{1}=a_{2}$,$A_{1}A_{2}=a_{3}$,$·s$,$A_{5}A_{6}=a_{7}$,则$a_{7}=$$\frac{1}{4}$.

答案： 解析：由题意，得$a_{1}=BA=2,a_{2}=AA_{1}=\sqrt{2}$，$a_{3}=A_{1}A_{2}=1$，即数列$\{a_{n}\}$为等比数列，且首项为$2$，公比为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$a_{7}=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^{6}=\frac{1}{4}$.答案：$\frac{1}{4}$

15. (13 分)已知等比数列$\{ a_{n}\}$的公比$q＞1$,$a_{1}a_{2}a_{3}=64$,$a_{2}+1$是$a_{1}$,$a_{3}$的等差中项,数列$\{ a_{n}+b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}+n$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)求数列$\{ b_{n}\}$的通项公式.

答案： 解：
(1)由$a_{1}a_{2}a_{3}=64$可知$a_{2}^{3}=64,\therefore a_{2}=4$.又$2(a_{2}+1)=a_{1}+a_{3}=\frac{a_{2}}{q}+a_{2}q$，即$2q^{2}-5q+2=0$，解得$q=2$或$q=\frac{1}{2}$(舍)，$\therefore a_{n}=4·2^{n-2}=2^{n}$.
(2)数列$\{a_{n}+b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}+n$.当$n=1$时，$S_{1}=a_{1}+b_{1}=2$；当$n\geqslant2$时，$S_{n-1}=(n-1)^{2}+(n-1)=n^{2}-n$，$a_{n}+b_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2n$.经检验，当$n=1$时也满足该式，$\therefore b_{n}=2n-2^{n}$.