《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

18. (17 分)在某次水下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为 $ v $(米/单位时间),每单位时间的用氧量为 $ (\frac{v}{10})^3 + 1 $(升),在水底作业 10 个单位时间,每单位时间用氧量为 0.9(升),返回水面的平均速度为 $ \frac{v}{2} $(米/单位时间),每单位时间用氧量为 1.5(升),记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 $ y $(升).
(1)求 $ y $ 关于 $ v $ 的函数关系式;
(2)若 $ c\leq v\leq15(c＞0) $,求当下潜速度 $ v $ 取什么值时,总用氧量最少.

答案： 18.解：
(1)由题意，下潜用时$\frac{60}{v}($单位时间)，用氧量为$[(\frac{v}{10})^{3}+1]×\frac{60}{v}=\frac{3v^{2}}{50}+\frac{60}{v}($升)，水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升)，返回水面用时$\frac{60}{v}=\frac{120}{v}($单位时间)，用氧量为$\frac{120}{v}×1.5=\frac{180}{v}($升)，因此总用氧量$y=\frac{3v^{2}}{50}+\frac{240}{v}+9(v\gt0).(2)y^{\prime}=\frac{6v}{50}-\frac{240}{v^{2}}=\frac{3(v^{3}-2000)}{25v^{2}}，$令$y^{\prime}=0$得$v=10\sqrt[3]{2}，$当$0\ltv\lt10\sqrt[3]{2}$时，$y^{\prime}\lt0，$函数单调递减；当$v\gt10\sqrt[3]{2}$时，$y^{\prime}\gt0，$函数单调递增.若$c\lt10\sqrt[3]{2}，$函数在$(c,10\sqrt[3]{2})$上单调递减，在$(10\sqrt[3]{2},15)$上单调递增，
∴当$v=10\sqrt[3]{2}$时，总用氧量最少.若$c\geq10\sqrt[3]{2}，$则y在[c,15]上单调递增，
∴当v=c时，这时总用氧量最少.

19. (17 分)已知函数 $ f(x)=e^{x + 1}+(1 - a)x + b $.
(1)若曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (0,f(0)) $ 处的切线方程为 $ y = ex $,求实数 $ a,b $ 的值;
(2)若不等式 $ f(x)\geq0 $ 恒成立,求 $ \frac{b}{a} $ 的最小值.

答案： 19.解：
(1)由已知f
(0)=e + b=0，所以b=-e.又$f^{\prime}(x)=e^{x + 1}+1 - a，$所以$f^{\prime}(0)=e + 1 - a=e，$所以a=1.
(2)函数f(x)的定义域为R，$f^{\prime}(x)=e^{x + 1}+1 - a，$(i)若$1 - a\gt0，$即$a\lt1$时，$f^{\prime}(x)\gt0，$f(x)在R上单调递增，因为当$x\lt-1$时，$f(x)\lt(1 - a)x + b + 1\leq(1 - a)x + $|b| + 1，所以取$x_{0}=-1-\frac{|b| + 1}{1 - a}\lt-1，$则$f(x_{0})\lt0，$不合题意.(ii)若1 - a=0，即a=1时，$f^{\prime}(x)\gt0，$f(x)在R上单调递增，若不等式$f(x)=e^{x + 1}+b\geq0$恒成立，则$b\geq0.$所以$\frac{b}{a}\geq0，$即$\frac{b}{a}$的最小值为0.(iii)若$1 - a\lt0，$即$a\gt1$时，令$f^{\prime}(x)\gt0，$解得$x\gt\ln(a - 1)-1，$令$f^{\prime}(x)\lt0，$解得$x\lt\ln(a - 1)-1，$所以f(x)在$(-∞,\ln(a - 1)-1)$上单调递减，在$(\ln(a - 1)-1,+∞)$上单调递增，若不等式$f(x)\geq0$恒成立，则$f(\ln(a - 1)-1)=2(a - 1)+(1 - a)·\ln(a - 1)+b\geq0，$即$b\geq2(1 - a)+(a - 1)\ln(a - 1)$所以$\frac{b}{a}\geq\frac{2(1 - a)+(a - 1)\ln(a - 1)}{a}$设$a - 1=t(t\gt0)，$则$\frac{2(1 - a)+(a - 1)\ln(a - 1)}{a}=\frac{t(\lnt - 2)}{t + 1}$设$g(t)=\frac{t(\lnt - 2)}{t + 1}(t\gt0)，$则$g^{\prime}(t)=\frac{t + \lnt - 1}{(t + 1)^{2}}，$所以当t∈(0,1)时，$g^{\prime}(t)\lt0，$g(t)单调递减；当t∈(1,+∞)时，$g^{\prime}(t)\gt0，$g(t)单调递增.所以$g(t)\geqg(1)= - 1，$且等号成立时a=2，即$\frac{b}{a}$的最小值为-1.综上所述，$\frac{b}{a}$的最小值为-1.