《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

18. (17 分)已知曲线$y = x^{2}$.
(1)求曲线在点$P(1,1)$处的切线方程;
(2)求曲线过点$P(3,5)$的切线方程.

答案： 18.解：
(1)设切点为$(x_{0},y_{0})$，
$\because y^{\prime}|_{x=x_{0}}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x_{0}+\Delta x)^{2}-x_{0}^{2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{x_{0}^{2}+2x_{0}·\Delta x+(\Delta x)^{2}-x_{0}^{2}}{\Delta x}=2x_{0}$，
$\therefore y^{\prime}|_{x=1}=2$.
$\therefore$曲线在点$P(1,1)$处的切线方程为$y-1=2(x-1)$，即$2x-y-1=0$.
(2)点$P(3,5)$不在曲线$y=x^{2}$上，设切点为$A(x_{0},y_{0})$，由
(1)知，$y^{\prime}|_{x=x_{0}}=2x_{0}$，
$\therefore$切线方程为$y-y_{0}=2x_{0}(x-x_{0})$，
由$P(3,5)$在所求直线上，得$5-y_{0}=2x_{0}(3-x_{0})$，
再由$A(x_{0},y_{0})$在曲线$y=x^{2}$上，得$y_{0}=x_{0}^{2}$，②
联立①②得$x_{0}=1$或$x_{0}=5$.
从而切点为(1,1)时，切线的斜率为$k_{1}=2x_{0}=2$，
此时切线方程为$y-1=2(x-1)$，即$2x-y-1=0$.
当切点为(5,25)时，切线的斜率为$k_{2}=2x_{0}=10$，
此时切线方程为$y-25=10(x-5)$，即$10x-y-25=0$.
综上所述，过点$P(3,5)$且与曲线$y=x^{2}$相切的直线方程为$2x-y-1=0$或$10x-y-25=0$.

19. (17 分)已知曲线$f(x) = \frac{1}{x}$.
(1)求过点$A(1,0)$的切线方程;
(2)求满足斜率为$- \frac{1}{3}$的曲线的切线方程.

答案： 19.解：
(1)$f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{x+\Delta x-\frac{1}{x}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}(\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^{2}}$，
设过点$A(1,0)$的切线的切点为$P(x_{0},\frac{1}{x_{0}})$，
则$f^{\prime}(x_{0})=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$，
即该切线的斜率$k=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$，
因为点$A(1,0),P(x_{0},\frac{1}{x_{0}})$在切线上，所以$\frac{\frac{1}{x_{0}}-0}{x_{0}-1}=-\frac{1}{x_{0}^{2}}$，
解得$x_{0}=\frac{1}{2}$，故切线的斜率$k=-4$，
故曲线过点(1,0)的切线方程为$y=-4(x-1)$，即$4x+y-4=0$.
(2)设斜率为$-\frac{1}{3}$的切线的切点为$Q(a,\frac{1}{a})$，
由
(1)，知$k=f^{\prime}(a)=-\frac{1}{a^{2}}=-\frac{1}{3}$，解得$a=\pm\sqrt{3}$，
所以切点坐标为$(\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$或$(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{3})$，
故满足斜率为$-\frac{1}{3}$的曲线的切线方程为$y-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{1}{3}(x-\sqrt{3})$或$y+\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{1}{3}(x+\sqrt{3})$，
即$x+3y-2\sqrt{3}=0$或$x+3y+2\sqrt{3}=0$.