《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

19. (17 分)已知$\{ a_{n}\}$是公差为 1 的等差数列,$\{ b_{n}\}$是正项等比数列,$a_{1}=b_{1}=1$,_ ,$c_{n}=a_{n}b_{n}(n\in\mathbf{N}^{*})$.
(1)在①$b_{3}=a_{4}$,②$a_{3}=3b_{3}$,③$a_{2}=4b_{2}$这三个条件中任选一个,补充在上面横线处,判断$\{ c_{n}\}$是否是递增数列,并说明理由(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分);
(2)若$S_{n}=\frac{1}{3^{2a_{n}-1}}$,求数列$\{ S_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 19. 解：
∵$\{ a_{n}\}$是公差为$1$，首项为$1$的等差数列，
∴$a_{n}=1 + n - 1 = n$。
设$\{ b_{n}\}$的公比为$q(q\gt0)$。
(1) 若选①，由$b_{3}=a_{4}$，得$b_{3}=a_{4}=4$，
又$b_{1}=1$，
∴$q = 2$，则$b_{n}=2^{n - 1}$，$c_{n}=n·2^{n - 1}$，
由$\frac{c_{n}}{c_{n + 1}}=\frac{n·2^{n - 1}}{(n + 1)·2^{n}}=\frac{n}{2(n + 1)}\lt1$，
得$c_{n}\lt c_{n + 1}$，
故$\{ c_{n}\}$是递增数列；
若选②，由$a_{3}=3b_{3}=3$，得$b_{3}=1$，$q = 1$，
$b_{n}=1$，$c_{n}=n$，
则$c_{n}=n\lt c_{n + 1}=n + 1$，故$\{ c_{n}\}$是递增数列；
若选③，由$a_{2}=4b_{2}=2$，得$b_{2}=\frac{1}{2}$，$q=\frac{1}{2}$，
$b_{n}=\frac{1}{2^{n - 1}}$，$\therefore c_{n}=\frac{n}{2^{n - 1}}$，$\frac{c_{n}}{c_{n + 1}}=\frac{n·2^{n}}{(n + 1)·2^{n - 1}}=\frac{2n}{n + 1}\geqslant1$，
则$c_{n}\geqslant c_{n + 1}$，故$\{c_{n}\}$不是递增数列.
(2)$\because a_{n}=n$，$S_{n}=\frac{1}{3^{2a_{n}-1}}$，$\therefore S_{n}=\frac{1}{3^{2n - 1}}$，
$\therefore T_{n}=S_{1}+S_{2}+S_{3}+·s+S_{n}=\frac{1}{3^{1}}+\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{3^{5}}+$
$·s+\frac{1}{3^{2n - 1}}=\frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{9^{n}})}{1 - \frac{1}{9}}=\frac{3}{8}(1 - \frac{1}{9^{n}})$.