《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 若数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=4n - 5$，则关于此数列的图象叙述正确的是(D)

A.此数列不能用图象表示
B.此数列的图象仅在第一象限
C.此数列的图象为直线$y = 4x - 5$
D.此数列的图象为直线$y = 4x - 5$上满足$x\in \mathbf{N}^{*}$的一系列孤立的点

答案： 1.D 数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 4n - 5$，它的图象就是直线$y = 4x - 5$上满足$x \in \mathbf{N}^*$的一系列孤立的点，故选D.

2. 已知数列的通项公式$a_{n}=\begin{cases}3n + 1,n 为奇数,\\2n - 2,n 为偶数,\end{cases}$则$a_{2}a_{3}$等于( )

A.70
B.28
C.20
D.8

答案： 2.C 由$a_n = \begin{cases} 3n + 1, n 为奇数, \\ 2n - 2, n 为偶数, \end{cases}$得$a_2a_3 = 2 × 10 = 20$.

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=\frac{1}{n}$，则$a_{6}$的值等于(D)

A.$\frac{1}{20}$
B.$-\frac{1}{20}$
C.$\frac{1}{30}$
D.$-\frac{1}{30}$

答案： 3.D $a_6 = S_6 - S_5 = \frac{1}{6} - \frac{1}{5} = -\frac{1}{30}$. 故选D.

4. 已知数列$\{ a_{n}\}$，$a_{1}=2$，$a_{2}=1$，$a_{n + 2}=3a_{n + 1}-a_{n}$，则$a_{6}+a_{4}-3a_{5}$的值为(D)

A.3
B.$-2$
C.$-1$
D.0

答案： 4.D $\because a_{n + 2} = 3a_{n + 1} - a_n$，$\therefore a_{n + 2} + a_n = 3a_{n + 1}$.令$n = 4$，得$a_6 + a_4 = 3a_5$，$\therefore a_6 + a_4 - 3a_5 = 0$.

5. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=\frac{3n}{4n + 2}$，那么这个数列是(C)

A.摆动数列
B.递减数列
C.递增数列
D.常数列

答案： 5.C 因为$a_{n + 1} - a_n = \frac{3n + 3}{4n + 6} - \frac{3n}{4n + 2} = \frac{6}{(4n + 6)(4n + 2)} ＞ 0$，所以数列$\{a_n\}$是递增数列，故选C.

6. 下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(B)


A.$a_{n + 1}=a_{n}+n$，$n\in \mathbf{N}^{*}$
B.$a_{n}=a_{n - 1}+n$，$n\in \mathbf{N}^{*}$，$n\geqslant 2$
C.$a_{n + 1}=a_{n}+(n + 1)$，$n\in \mathbf{N}^{*}$，$n\geqslant 2$
D.$a_{n}=a_{n - 1}+(n - 1)$，$n\in \mathbf{N}^{*}$，$n\geqslant 2$

答案： 6.B 由题中图形知，$a_1 = 1$，$a_2 = a_1 + 2$，$a_3 = a_2 + 3$，$a_4 = a_3 + 4$，所以$a_n = a_{n - 1} + n$，$n \in \mathbf{N}^*$，$n \geqslant 2$，故选B.

7. 如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第$n$个图有化学键(D)


A.$6n$个
B.$(4n + 2)$个
C.$(5n - 1)$个
D.$(5n + 1)$个

答案： 7.D 由题中图形知，各图中“短线”个数依次为$6$，$6 + 5$，$6 + 5 + 5$，$·s$，若把$6$看作$1 + 5$，则上述数列为$1 + 5$，$1 + 2 × 5$，$1 + 3 × 5$，$·s$，于是第$n$个图形有$(5n + 1)$个化学键. 故选D.

8. 已知函数$f(x)=\begin{cases}(3 - a)x - 6,x\leqslant 10,\\a^{x - 9},x\gt 10.\end{cases}$若数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}=f(n)$，$n\in \mathbf{N}^{*}$，且$\{ a_{n}\}$是递增数列，则实数$a$的取值范围是( )

A.$(1,3)$
B.$(1,2]$
C.$(2,3)$
D.$[\frac{14}{11},3)$

答案： 8.C 由题意知$a_n = \begin{cases} (3 - a)n - 6, n \leqslant 10, \\ a^{n - 9}, n ＞ 10, \end{cases}$因为数列$\{a_n\}$是递增数列，所以当$n \leqslant 10$时，$3 - a ＞ 0$，即$a ＜ 3$；当$n ＞ 10$时，$a ＞ 1$.又$a_{10} ＜ a_{11}$，所以$(3 - a) × 10 - 6 ＜ a^{11 - 9}$，即$a^2 + 10a - 24 ＞ 0$，即$(a + 12)(a - 2) ＞ 0$，所以$a ＜ -12$或$a ＞ 2$.综上可得，$a$的取值范围为$(2, 3)$.