《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

9. 函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $,它的导函数 $ y = f'(x) $ 的部分图象如图所示,则下面结论正确的是 (ABC)


A.在 $ (1,2) $ 上函数 $ f(x) $ 为增函数
B.在 $ (3,4) $ 上函数 $ f(x) $ 为减函数
C.在 $ (1,3) $ 上函数 $ f(x) $ 有极大值
D.$ x = 3 $ 是函数 $ f(x) $ 在区间 $ [1,5] $ 上的极小值点

答案： 9.ABC 由图可知，当$1\ltx\lt2$时，$f^{\prime}(x)\gt0，$当$2\ltx\lt4$时，$f^{\prime}(x)\lt0，$当$4\ltx\lt5$时，$f^{\prime}(x)\gt0，$所以x=2是函数f(x)的极大值点，x=4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误.

10. 若函数 $ f(x)=3x - x^3 $ 在区间 $ (a^2 - 12,a) $ 上有最小值,则实数 $ a $ 的可能取值是 (ABC)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 10.ABC 由$f^{\prime}(x)=3 - 3x^{2}=0，$得x=±1.当x变化时，$f^{\prime}(x)$及f(x)的变化情况如表：$x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f^{\prime}(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ -2 ↗ 2 ↘$又当x=2时，f
(2)= - 2，所以要满足题设条件，需有$\begin{cases}a^{2}-12\lt-1\\-1\lta\leq2\end{cases}，$解得$-1\lta\leq2，$
∴a的可能值是0，1，2.选ABC.

11. 已知不等式 $ (x - 2)e^x\geq a $ 对任意的 $ x\in\mathbf{R} $ 恒成立,则满足条件的整数 $ a $ 的可能值为 (AB)

A.$ - 4 $
B.$ - 3 $
C.$ - 2 $
D.$ - 1 $

答案： 11.AB 令$f(x)=(x - 2)e^{x}，$则$f^{\prime}(x)=(x - 1)· e^{x}，$易得当$x\gt1$时，$f^{\prime}(x)\gt0，$函数f(x)单调递增，当$x\lt1$时，$f^{\prime}(x)\lt0，$函数f(x)单调递减，故当x=1时，函数f(x)取得最小值f
(1)= -e，故$a\leq-e，$结合选项可知，A，B符合.

12. 若函数 $ f(x)=a\ln x + bx^2 + 3x $ 的极值点为 $ x_1 = 1,x_2 = 2 $,则 $ a = $-2,$ b = $-\frac{1}{2}.

答案： 12.解析：f(x)的定义域为$(0,+∞). f^{\prime}(x)=\frac{a}{x}+2bx + 3=\frac{2bx^{2}+3x + a}{x}$因为函数f(x)的极值点为$x_{1}=1，$$x_{2}=2，$所以$x_{1}=1，$$x_{2}=2$是方程$f^{\prime}(x)=\frac{2bx^{2}+3x + a}{x}=0$的两个根，即为方程$2bx^{2}+3x+a=0$的两根.所以由根与系数的关系知$\begin{cases}-\frac{3}{2b}=1 + 2\frac{a}{2b}=1×2\end{cases}.$解得$\begin{cases}a=-2\\b=-\frac{1}{2}\end{cases}.$答案：$-2 -\frac{1}{2}$

13. 已知函数 $ f(x)=x^3 - 2x + e^x - \frac{1}{e^x} $,其中 $ e $ 是自然对数的底数.若 $ f(a - 1)+f(2a^2)\leq0 $,则实数 $ a $ 的取值范围是[-1,\frac{1}{2}].

答案： 13.解析：$f(-x)=(-x)^{3}+2x + e^{-x}-e^{x}=-f(x)，$所以函数f(x)为奇函数.又$f^{\prime}(x)=3x^{2}-2 + e^{x}+\frac{1}{e^{x}}\geq0-2 + 2=0，$所以函数f(x)为单调递增函数.不等式$f(a - 1)+f(2a^{2})\leq0$可化为$f(2a^{2})\leq-f(a - 1)=f(1 - a)，$所以$2a^{2}\leq1 - a，$解得$-1\leqa\leq\frac{1}{2}.$答案：$[-1,\frac{1}{2}]$

14. 已知函数 $ f(x)=\frac{1}{3}x^3 + mx^2 + nx + 2 $,其导函数 $ f'(x) $ 为偶函数,$ f(1)=-\frac{2}{3} $,则函数 $ g(x)=f'(x)e^x $ 在区间 $ [0,2] $ 上的最小值为-2e.

答案： 14.解析：由题意可得$f^{\prime}(x)=x^{2}+2mx + n，$
∵$f^{\prime}(x)$为偶函数，
∴m=0，故$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+nx + 2，$
∵$f(1)=\frac{1}{3}+n + 2=-\frac{2}{3}，$
∴n=-3.
∴$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-3x + 2，$则$f^{\prime}(x)=x^{2}-3，$故$g(x)=e^{x}(x^{2}-3)，$则$g^{\prime}(x)=e^{x}(x^{2}-3 + 2x)=e^{x}(x - 1)·(x + 3)，$据此可知函数g(x)在区间[0,1)上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，故函数g(x)的极小值，即最小值为$g(1)=e^{1}·(1^{2}-3)=-2e.$答案：-2e

15. (13 分)若 $ f(x)=\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x,x\in\mathbf{R} $,求:
(1)$ f(x) $ 的单调递增区间;
(2)$ f(x) $ 在 $ [0,2] $ 上的最小值和最大值.

答案： 15.解：$(1)f^{\prime}(x)=x^{2}+2x - 3，$由$f^{\prime}(x)\gt0$解得$x\lt-3$或$x\gt1，$所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-3)和(1,+∞).
(2)由
(1)知f(x)在[0,1)上单调递减，在[1,2]上单调递增.因为$f(1)=\frac{1}{3}+1 - 3=-\frac{5}{3}，$f
(0)=0，$f(2)=\frac{1}{3}×2^{3}+2^{2}-3×2=\frac{2}{3}，$所以$f(x)_{\max}=\frac{2}{3}，$$f(x)_{\min}=-\frac{5}{3}.$