《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. (15 分)设函数 $ f(x)=a(x - 5)^2 + 6\ln x $,其中 $ a\in\mathbf{R} $,$ f(x) $ 的图象在点 $ (1,f(1)) $ 处的切线与 $ y $ 轴相交于点 $ (0,6) $.
(1)求 $ a $ 的值;
(2)求函数 $ f(x) $ 的单调区间与极值.

答案： 16.解：
(1)
∵$f(x)=a(x - 5)^{2}+6\lnx(x\gt0)，$
∴$f^{\prime}(x)=2a(x - 5)+\frac{6}{x}(x\gt0).$令x=1，得f
(1)=16a，$f^{\prime}(1)=6 - 8a，$
∴f(x)的图象在点(1,f
(1))处的切线方程为y - 16a=(6 - 8a)(x - 1).
∵切线与y轴相交于点(0,6)，
∴6 - 16a=8a - 6，
∴$a=\frac{1}{2}.(2)$由
(1)知，$f(x)=\frac{1}{2}(x - 5)^{2}+6\lnx(x\gt0)，$$f^{\prime}(x)=(x - 5)+\frac{6}{x}=\frac{(x - 2)(x - 3)}{x}(x\gt0).$令$f^{\prime}(x)=0，$得x=2或x=3.当$0\ltx\lt2$或$x\gt3$时，$f^{\prime}(x)\gt0，$f(x)在(0，2)，(3,+∞)上单调递增；当$2\ltx\lt3$时，$f^{\prime}(x)\lt0，$f(x)在(2,3)上单调递减.
∴f(x)的单调递增区间为(0,2)，(3,+∞)，单调递减区间为(2,3).故f(x)在x=2处取得极大值$f(2)=\frac{9}{2}6\ln2，$在x=3处取得极小值$f(3)=2 + 6\ln3.$

17. (15 分)设函数 $ f(x)=ax^2 - a - \ln x,g(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{e^x} $,其中 $ a\in\mathbf{R} $,$ e = 2.718·s $ 为自然对数的底数.
(1)讨论 $ f(x) $ 的单调性;
(2)证明:当 $ x＞1 $ 时,$ g(x)＞0 $.

答案： 17.解：
(1)由题意得$f^{\prime}(x)=2ax-\frac{1}{x}-\frac{2ax^{2}-1}{x}(x\gt0).$当$a\leq0$时，$f^{\prime}(x)\lt0，$f(x)在(0,+∞)内单调递减.当$a\gt0$时，由$f^{\prime}(x)=0$有$x=\frac{1}{\sqrt{2a}}，$当$x∈(0,\frac{1}{\sqrt{2a}})$时，$f^{\prime}(x)\lt0，$f(x)单调递减；当$x∈(\frac{1}{\sqrt{2a}},+∞)$时，$f^{\prime}(x)\gt0，$f(x)单调递增.
(2)证明：令$s(x)=e^{x - 1}-x，$则$s^{\prime}(x)=e^{x - 1}-1.$当$x\gt1$时，$s^{\prime}(x)\gt0，$所以$s(x)\gts(1)，$即$e^{x - 1}\gtx，$从而$g(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{e^{x}}=\frac{e(e^{x - 1}-x)}{xe^{x}}\gt0.$