《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. （15 分）已知函数$f(x)=\frac{1 - 2x}{x + 1}(x\geqslant 1)$，构造数列$a_{n}=f(n)(n\in \mathbf{N}_{+})$。
（1）求证：$a_{n}\gt - 2$；
（2）数列$\{ a_{n}\}$是递增数列还是递减数列？为什么？

答案： 16.解：
(1)证明：因为$f(x) = \frac{1 - 2x}{x + 1} = \frac{3 - 2(x + 1)}{x + 1} = -2 + \frac{3}{x + 1}$，所以$a_n = -2 + \frac{3}{n + 1}$.因为$n \in \mathbf{N}_+$，所以$a_n ＞ -2$.
(2)数列$\{a_n\}$为递减数列.因为$a_n = -2 + \frac{3}{n + 1}$，所以$a_{n + 1} - a_n = \left(-2 + \frac{3}{n + 2}\right) - \left(-2 + \frac{3}{n + 1}\right) = \frac{3}{n + 2} - \frac{3}{n + 1} = \frac{-3}{(n + 2)(n + 1)} ＜ 0$，即$a_{n + 1} ＜ a_n$，所以数列$\{a_n\}$为递减数列.

17. （15 分）在数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{n}=-\frac{1}{a_{n - 1}}(n\geqslant 2$，$n\in \mathbf{N}^{*})$。
（1）求证：$a_{n + 2}=a_{n}$；
（2）若$a_{4}=4$，求$a_{20}$的值；
（3）若$a_{1}=1$，求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}$的值。

答案： 17.解：
(1)证明：当$n \geqslant 1$时，因为$a_{n + 2} = -\frac{1}{a_{n + 1}} = -\frac{1}{-\frac{1}{a_n}} = a_n$，所以等式成立.
(2)由
(1)知数列$\{a_n\}$是以$2$为周期的周期数列，所以$a_{20} = a_4 = 4$.
(3)因为$a_1 = 1$，所以$a_2 = -1$.由于数列$\{a_n\}$是以$2$为周期的周期数列，$a_1 + a_2 = 0$，所以$(a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + (a_5 + a_6) + a_7 = a_1 = 1$.