《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. （15 分）已知函数 $ f(x) = 2e^x(x + 1) $.
（1）求函数 $ f(x) $ 的极值；
（2）求函数 $ f(x) $ 在区间 $ [t,t + 1](t ＞ -3) $ 上的最小值 $ g(t) $.

答案： 16.解：
(1)$f^{\prime}(x)=2e^{x}(x + 2)$，由$f^{\prime}(x)＞0$，得$x＞-2$；由$f^{\prime}(x)＜0$，得$x＜-2$。$\therefore f(x)$在$(-2,+\infty)$上单调递增，在$(-\infty,-2)$上单调递减。$\therefore f(x)$的极小值为$f(-2)=-2e^{-2}$，无极大值。
(2)由
(1)知，$f(x)$在$(-2,+\infty)$上单调递增，在$(-\infty,-2)$上单调递减。$\because t＞-3$，$\therefore t + 1＞-2$。
①当$-3＜t＜-2$时，$f(x)$在$[t,-2)$上单调递减，在$(-2,t + 1]$上单调递增，$\therefore g(t)=f(-2)=-2e^{-2}$。
②当$t\geq-2$时，$f(x)$在$[t,t + 1]$上单调递增，$\therefore g(t)=f(t)=2e^{t}(t + 1)$。
$\therefore g(t)=\begin{cases}-2e^{-2},&-3＜t＜-2\\2e^{t}(t + 1),&t\geq-2\end{cases}$

17. （15 分）某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为 10 万元，每生产千件需另投入 3 万元，设该厂年内共生产该新型玩具 $ x $ 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 $ F(x) $ 万元，且满足函数关系 $ F(x) = 11.1 - \frac{x^2}{30} $.
（1）写出年利润 $ G(x) $ 万元关于该新型玩具年产量 $ x $ 千件的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？

答案： 17.解：
(1)依题意，$G(x)=xF(x)-(10 + 3x)=8.1x-\frac{x^{3}}{30}-10(x＞0)$。
(2)由
(1)得$G^{\prime}(x)=8.1-\frac{x^{2}}{10}=\frac{(9 + x)(9 - x)}{10}$，令$G^{\prime}(x)=0$，得$x_{1}=9$，$x_{2}=-9$（舍去）。$\therefore$当$x\in(0,9)$时，$G^{\prime}(x)＞0$，$G(x)$单调递增，当$x\in(9,+\infty)$时，$G^{\prime}(x)＜0$，$G(x)$单调递减。$\therefore$当$x = 9$时，有$G(x)_{\max}=8.1×9-\frac{9^{3}}{30}-10=38.6$。即当年产量为9千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大且最大利润为38.6万元。