《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

11. 下列关于等差数列的命题中正确的有(BCD)

A.若$a,b,c$成等差数列,则$a^{2},b^{2},c^{2}$一定成等差数列
B.若$a,b,c$成等差数列,则$2^{a},2^{b},2^{c}$可能成等差数列
C.若$a,b,c$成等差数列,则$ka + 2,kb + 2,kc + 2$一定成等差数列
D.若$a,b,c$成等差数列,则$\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$可能成等差数列

答案： 11.BCD 对于 A, 取$a = 1$,$b = 2$,$c = 3$, 可得$a^2 = 1$,$b^2 = 4$,$c^2 = 9$, 显然，$a^2$,$b^2$,$c^2$不成等差数列，故 A 错.
对于 B, 取$a = b = c$, 可得$2^a = 2^b = 2^c$, 故 B 正确.
对于 C, $\because a$,$b$,$c$成等差数列，$\therefore a + c = 2b$.
$\therefore (ka + 2) + (kc + 2) = k(a + c) + 4 = 2(kb + 2)$,
即$ka + 2$,$kb + 2$,$kc + 2$成等差数列，故 C 正确.
对于 D,$a = b = c \neq 0 \Rightarrow \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$, 故 D 正确.

12. 在等差数列$\{ a_{n}\}$中,$a_{1}=7$,公差为$d$,前$n$项和为$S_{n}$,当且仅当$n = 8$时$S_{n}$取得最大值,则$d$的取值范围为$(-1, - \frac{7}{8})$.

答案： 12.解析：由当且仅当$n = 8$时$S_n$最大，知$a_8 ＞ 0$且$a_9 ＜ 0$, 于是$\begin{cases} 7 + 7d ＞ 0, \\ 7 + 8d ＜ 0, \end{cases}$解得$-1 ＜ d ＜ - \frac{7}{8}$, 故$d$的取值范围为$(-1, - \frac{7}{8})$.
答案：$(-1, - \frac{7}{8})$

13. 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为 377,项数$n$为奇数,且前$n$项中,奇数项的和与偶数项的和之比为$7:6$,则中间项为29.

答案： 13.解析：因为$n$为奇数，所以$\frac{S_{奇}}{S_{偶}} = \frac{n + 1}{n - 1} = \frac{7}{6}$, 解得$n = 13$. 所以$S_{13} = 13a_7 = 377$, 所以$a_7 = 29$. 故所求的中间项为 29.
答案：29

14. 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距 10 m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为2000m.

答案： 14.解析：假设 20 个树坑按 1 号到 20 号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和为最小，则树苗需放在第 10 号或第 11 号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20 为首项，20 为公差的等差数列，
故所有同学往返的总路程为$S = 9 × 20 + \frac{9 × 8}{2} × 20 + 10 × 20 + \frac{10 × 9}{2} × 20 = 2000(m)$.
答案：2000

15. (13 分)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n+1}=\frac{6a_{n}-4}{a_{n}+2}$,且$a_{1}=3(n\in \mathbf{N}^{*})$.
(1) 证明:数列$\{\frac{1}{a_{n}-2}\}$是等差数列;
(2) 求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.

答案： 15.解：
(1) 证明：由$\frac{1}{a_{n + 1} - 2} = \frac{6a_n - 4}{a_n + 2} - 2 = \frac{(6a_n - 4) - 2(a_n + 2)}{a_n + 2} = \frac{4a_n - 8}{4a_n - 8} · \frac{1}{a_n - 2} + \frac{4}{4a_n - 8} = \frac{(a_n - 2) + 4}{4(a_n - 2)} = \frac{1}{a_n - 2} + \frac{1}{4}$, 得$\frac{1}{a_{n + 1} - 2} - \frac{1}{a_n - 2} = \frac{1}{4}$, 故数列$\{ \frac{1}{a_n - 2} \}$是等差数列.
(2)由
(1)知$\frac{1}{a_n - 2} = \frac{1}{a_1 - 2} + (n - 1) × \frac{1}{4} = \frac{n + 3}{4}$, 所以$a_n = \frac{2n + 10}{n + 3}$.