《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

7. 已知 $ a = \pi ^ { \mathrm { e } }, b = 3 ^ { \pi }, c = \mathrm { e } ^ { \pi } $,则它们的大小关系是 (C)

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ c ＞ b ＞ a $
C.$ b ＞ c ＞ a $
D.$ c ＞ a ＞ b $

答案： 7.C 因为函数$y = x^{\pi}$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$3^{\pi}＞e^{\pi}$.构造函数$f(x)=\frac{\ln x}{x}$，则$f'(x)=\frac{1 - \ln x}{x^{2}}$，当$x\in(0,e)$时，$f'(x)＞0$，$f(x)$单调递增；当$x\in(e,+\infty)$时，$f'(x)＜0$，$f(x)$单调递减.所以，$f(x)$的最大值为$f(e)$，故$\frac{\ln e}{e}＞\frac{\ln \pi}{\pi}$，所以$e^{\pi}＞\pi^{e}$.综合可知$3^{\pi}＞e^{\pi}＞\pi^{e}$，所以$b ＞ c ＞ a$.故选C.

8. 若函数 $ y = f ( x ) $ 存在 $ n - 1 ( n \in \mathbf { N } ^ { * } ) $ 个极值点,则称 $ y = f ( x ) $ 为 $ n $ 折函数,例如 $ f ( x ) = x ^ { 2 } $ 为 2 折函数.已知函数 $ f ( x ) = ( x + 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - x ( x + 2 ) ^ { 2 } $,则 $ f ( x ) $ 为 (C)

A.2 折函数
B.3 折函数
C.4 折函数
D.5 折函数

答案：
8.C $f'(x)=(x + 2)e^{x}-(x + 2)(3x + 2)=(x + 2)·(e^{x}-3x - 2)$.令$f'(x)=0$，得$x = - 2$或$e^{x}=3x + 2$.易知$x = - 2$是$f(x)$的一个极值点，又$e^{x}=3x + 2$，结合 ，$y = e^{x}$与$y = 3x + 2$有两个交点.又$e^{-2}\neq3×(-2)+2=-4$.所以函数$y = f(x)$有3个极值点，则$f(x)$为4折函数.

9. 已知函数 $ f ( x ) = \ln x - a x $ 的图象在 $ x = 1 $ 处的切线方程为 $ x + y + b = 0 $,则 (ABD)

A.$ a = 2 $
B.$ b = 1 $
C.$ f ( x ) $ 的极小值为 $ - \ln 2 - 1 $
D.$ f ( x ) $ 的极大值为 $ - \ln 2 - 1 $

答案： 9.ABD 因为$f(x)=\ln x - ax$，所以$f'(x)=\frac{1}{x}-a$，又函数$f(x)$的图象在$x = 1$处的切线方程为$x + y + b = 0$，所以$f(1)=-a=-b - 1$，$f'(1)=1 - a = - 1$，解得$a = 2$，$b = 1$，所以AB正确；由$f'(x)=\frac{1}{x}-2=\frac{1 - 2x}{x}$，令$f'(x)＞0$，得$f(x)$在$(0,\frac{1}{2})$单调递增，令$f'(x)＜0$，得$f(x)$在$(\frac{1}{2},+\infty)$单调递减，知$f(x)$在$x=\frac{1}{2}$处取得极大值，$f(\frac{1}{2})=\ln\frac{1}{2}-1=-\ln 2 - 1$.无极小值.所以D正确，C错误.故选ABD.

10. 两个学校 $ W _ { 1 }, W _ { 2 } $ 开展节能活动,活动开始后两学校的用电量 $ W _ { 1 } ( t ), W _ { 2 } ( t ) $ 与时间 $ t $ (天)的关系如图所示,则一定有 (AB)


A.$ W _ { 1 } $ 比 $ W _ { 2 } $ 节能效果好
B.$ W _ { 1 } $ 的用电量在 $ [ 0, t _ { 0 } ] $ 上的平均变化率比 $ W _ { 2 } $ 的用电量在 $ [ 0, t _ { 0 } ] $ 上的平均变化率小
C.两学校节能效果一样好
D.$ W _ { 1 } $ 与 $ W _ { 2 } $ 自节能以来用电量总是一样大

答案： 10.AB 由图象可知，对任意的$t_{1}\in(0,t_{0})$，曲线$W = W_{1}(t)$在$t = t_{1}$处的切线比曲线$W = W_{2}(t)$在$t = t_{1}$处的切线要“陡”，所以$W_{1}$比$W_{2}$节能效果好，A正确，C错误；由图象可知，$\frac{W_{1}(t_{0})-W_{1}(0)}{t_{0}}＜\frac{W_{2}(t_{0})-W_{2}(0)}{t_{0}}$，则$W_{1}$的用电量在$[0,t_{0}]$上的平均变化率比$W_{2}$的用电量在$[0,t_{0}]$上的平均变化率小，B选项正确；由于曲线$W = W_{1}(t)$和曲线$W = W_{2}(t)$不重合，D选项错误.故选AB.

11. 已知函数 $ f ( x ) = x \ln x + x ^ { 2 }, x _ { 0 } $ 是函数 $ f ( x ) $ 的极值点,以下几个结论中正确的是 (AD)

A.$ 0 ＜ x _ { 0 } ＜ \frac { 1 } { \mathrm { e } } $
B.$ x _ { 0 } ＞ \frac { 1 } { \mathrm { e } } $
C.$ f ( x _ { 0 } ) + 2 x _ { 0 } ＜ 0 $
D.$ f ( x _ { 0 } ) + 2 x _ { 0 } ＞ 0 $

答案： 11.AD 函数$f(x)=x\ln x+x^{2}(x＞0)$，$\therefore f'(x)=\ln x + 1+2x$，$\because x_{0}$是函数$f(x)$的极值点，$\therefore f'(x_{0})=0$，$\therefore\ln x_{0}+1+2x_{0}=0$，$\therefore f'(\frac{1}{e})=\frac{2}{e}＞0$，当$x＞\frac{1}{e}$时，$f'(x)＞0$，$\because x\rightarrow0$，$f'(x)\rightarrow-\infty$，$\therefore0＜x_{0}＜\frac{1}{e}$，即A选项正确，B选项不正确；$f(x_{0})+2x_{0}=x_{0}\ln x_{0}+x_{0}^{2}+2x_{0}=x_{0}(\ln x_{0}+x_{0}+2)=x_{0}(1 - x_{0})＞0$，即D正确，C不正确.故答案为AD.

12. 曲线 $ y = \frac { 2 x - 1 } { x + 2 } $ 在点 $ ( - 1, - 3 ) $ 处的切线方程为5x - y + 2 = 0.

答案： 12.解析：因为$y=\frac{2x - 1}{x + 2}$，所以$y'=\frac{2(x + 2)-(2x - 1)}{(x + 2)^{2}}=\frac{5}{(x + 2)^{2}}$.当$x = - 1$时，$y = - 3$，$y' = 5$，所以所求切线方程为$y + 3 = 5(x + 1)$，即$5x - y + 2 = 0$.答案：$5x - y + 2 = 0$

13. 已知 $ y = f ( x ) $ 是奇函数,当 $ x \in ( 0, 2 ) $ 时,$ f ( x ) = \ln x - a x ( a ＞ \frac { 1 } { 2 } ) $,当 $ x \in ( - 2, 0 ) $ 时,$ f ( x ) $ 的最小值为 1,则 $ a = $1.

答案： 13.解析：由题意知，当$x\in(0,2)$时，$f(x)$的最大值为$-1$.令$f'(x)=\frac{1}{x}-a=0$，得$x=\frac{1}{a}$，当$0＜x＜\frac{1}{a}$时，$f'(x)＞0$；当$x＞\frac{1}{a}$时，$f'(x)＜0$.$\therefore f(x)_{\max}=f(\frac{1}{a})=-\ln a - 1 = - 1$，解得$a = 1$.答案：1

14. 定义在 $ ( 0, + \infty ) $ 上的函数 $ f ( x ) $ 满足 $ x f ^ { \prime } ( x ) + 1 ＞ 0, f ( 2 ) = - \ln 2 $,则不等式 $ f ( \mathrm { e } ^ { x } ) + x ＞ 0 $ 的解集为(ln 2, +∞).

答案： 14.解析：设$g(x)=f(x)+\ln x(x＞0)$，由$xf'(x)+1＞0$可得$g'(x)=f'(x)+\frac{1}{x}＞0$，所以$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，又$g(2)=f(2)+\ln 2 = 0$，所以不等式$f(e^{x})+x＞0$等价于$g(e^{x})=f(e^{x})+x＞0=g(2)$，因此$e^{x}＞2$，所以$x＞\ln 2$，即不等式$f(e^{x})+x＞0$的解集为$(\ln 2,+\infty)$.答案：$(\ln 2,+\infty)$