《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 函数 $ f(x)=(3 - x^2)e^x $ 的单调递增区间为 (D)

A.$ (-\infty,0) $
B.$ (0,+\infty) $
C.$ (-\infty,-3) $ 和 $ (1,+\infty) $
D.$ (-3,1) $

答案： 1.D
∵函数$f(x)=(3-x^{2})e^{x}，$
∴$f^{\prime}(x)= -2xe^{x}+(3-x^{2})e^{x}=(3 - 2x - x^{2})e^{x}。$由$f^{\prime}(x)\gt0，$得$3 - 2x - x^{2}\gt0，$即$x^{2}+2x - 3\lt0，$解得$- 3\ltx\lt1，$即函数f(x)的单调递增区间为(-3,1)。

2. 函数 $ f(x)=2\sqrt{x}+\frac{1}{x},x\in(0,5] $ 的最小值为 (B)

A.2
B.3
C.$ \frac{17}{4} $
D.$ 2\sqrt{2}+\frac{1}{2} $

答案： $2.B f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{\frac{3}{2}} - 1}{x^{2}}，$令$f^{\prime}(x)=0，$得x=1.当x∈(0,1)时，$f^{\prime}(x)\lt0；$当x∈(1,5]时，$f^{\prime}(x)\gt0.$故当x=1时，f(x)最小，最小值为f
(1)=3.

3. 已知 $ e $ 为自然对数的底数,设函数 $ f(x)=(e^x - 1)(x - 1)^k(k = 1,2) $,则 (C)

A.当 $ k = 1 $ 时,$ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得极小值
B.当 $ k = 1 $ 时,$ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得极大值
C.当 $ k = 2 $ 时,$ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得极小值
D.当 $ k = 2 $ 时,$ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得极大值

答案： 3.C 当k=1时，$f^{\prime}(x)=e^{x}· x - 1，$$f^{\prime}(1)\neq0，$
∴x=1不是f(x)的极值点.当k=2时，$f^{\prime}(x)=(x - 1)(xe^{x}+e^{x}-2)，$显然$f^{\prime}(1)=0，$且当$x\lt1$时，$f^{\prime}(x)\lt0，$当$x\gt1$时，$f^{\prime}(x)\gt0，$
∴f(x)在x=1处取得极小值.故选C.

4. 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价定为 $ p $ 元,销售量为 $ Q $ 件,则销售量 $ Q $ 与零售价 $ p $ 有如下关系:$ Q = 8300 - 170p - p^2 $.则最大毛利润为(毛利润 $ = $ 销售收入 $ - $ 进货支出) (D)

A.30 元
B.60 元
C.28 000 元
D.23 000 元

答案： 4.D 设毛利润为L(p)，由题意知$L(p)=Q(p - 20)=(8300 - 170p - p^{2})(p - 20)=-p^{3}-150p^{2}+11700p - 166000，$所以$L^{\prime}(p)= - 3p^{2}-300p + 11700.$令$L^{\prime}(p)=0，$解得p=30或p=-130(舍去).此时，L
(30)=23000.因为在p=30附近的左侧$L^{\prime}(p)\gt0，$右侧$L^{\prime}(p)\lt0.$所以L
(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L
(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元.

5. 若函数 $ f(x)=ax+\ln x $ 在 $ x = 1 $ 处取极值,则 (A)

A.$ f(x) $ 有极大值 $ - 1 $
B.$ f(x) $ 有极小值 $ - 1 $
C.$ f(x) $ 有极大值 0
D.$ f(x) $ 有极小值 0

答案： 5.A 由题意知f(x)的定义域为(0,+∞)，对f(x)求导得$f^{\prime}(x)=a+\frac{1}{x}，$所以$f^{\prime}(1)=a + 1=0，$解得a=-1，所以当x∈(0,1)时，$f^{\prime}(x)\gt0，$f(x)是增函数；当x∈(1,+∞)时，$f^{\prime}(x)\lt0，$f(x)是减函数，所以f(x)有极大值f
(1)= - 1.

6. 函数 $ f(x)=6\sqrt{x}-x^3+6 $ 在 $ [0,4] $ 上的最大值与最小值之和为 (B)

A.$ - 46 $
B.$ - 35 $
C.6
D.5

答案： 6.B 由$f(x)=6\sqrt{x}-x^{3}+6$得$f^{\prime}(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}-3x^{2}=\frac{3(1 - x^{2}\sqrt{x})}{\sqrt{x}}，$由$f^{\prime}(x)=0$可得x=1.当x∈(0,1)时，$f^{\prime}(x)\gt0，$当x∈(1,+∞)时，$f^{\prime}(x)\lt0，$所以f(x)的极大值为f
(1)=11，又f
(0)=6，f
(4)= - 46，所以f(x)的最大值为11，最小值为-46，所以最大值与最小值之和为-35.故选B.

7. 已知 $ f(x)=\frac{\ln x}{x} $,则 (D)

A.$ f(2)＞f(e)＞f(3) $
B.$ f(3)＞f(e)＞f(2) $
C.$ f(e)＞f(2)＞f(3) $
D.$ f(e)＞f(3)＞f(2) $

答案： 7.D 函数f(x)的定义域是(0,+∞)，
∵$f^{\prime}(x)=\frac{1 - \ln x}{x^{2}}，$
∴当x∈(0,e)时，$f^{\prime}(x)\gt0；$当x∈(e,+∞)时，$f^{\prime}(x)\lt0.$故当x=e时，$f(x)_{\max}=f(e).$而$f(2)=\frac{\ln2}{2}=\frac{\ln8}{6}，$$f(3)=\frac{\ln3}{3}=\frac{\ln9}{6}，$
∴$f(e)\gtf(3)\gtf(2).$

8. 若函数 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上可导,且 $ f(x)＞f'(x) $,则当 $ a＞b $ 时,下列不等式成立的是 (D)

A.$ e^af(a)＞e^bf(b) $
B.$ e^bf(a)＞e^af(b) $
C.$ e^bf(b)＞e^af(a) $
D.$ e^af(b)＞e^bf(a) $

答案： 8.D
∵$(\frac{f(x)}{e^{x}})^{\prime}=\frac{e^{x}f^{\prime}(x)-e^{x}f(x)}{(e^{x})^{2}}=\frac{e^{x}[f^{\prime}(x)-f(x)]}{(e^{x})^{2}}\lt0，$
∴$y=\frac{f(x)}{e^{x}}$单调递减，又$a\gtb，$
∴$\frac{f(a)}{e^{a}}\lt\frac{f(b)}{e^{b}}，$
∴$e^{a}f(b)\gte^{b}f(a).$