《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 若在区间 $(a,b)$ 内有 $f'(x)＞0$,且 $f(a)\geqslant0$,则在 $(a,b)$ 内有 (A)

A.$f(x)＞0$
B.$f(x)＜0$
C.$f(x)=0$
D.不能确定

答案： 1.A 因为在区间$(a,b)$内有$f^{\prime}(x) ＞ 0$，故$f(x)$在区间$(a,b)$内为增函数，所以$f(x) ＞ f(a) \geq 0$，即$f(x) ＞ 0$. 故选A.

2. 函数 $f(x)=\ln x - ax(a＞0)$ 的单调递增区间为 (A)

A.$(0,\frac{1}{a})$
B.$(\frac{1}{a},+\infty)$
C.$(-\infty,\frac{1}{a})$
D.$(-\infty,a)$

答案： 2.A 函数定义域为$(0, +\infty)$，由$f^{\prime}(x) ＞ 0$，即$\frac{1}{x} - a ＞ 0$，得$0 ＜ x ＜ \frac{1}{a}$，故选A.

3. 函数 $y = f(x)$ 的导函数 $y = f'(x)$ 的图象如图所示,则函数 $y = f(x)$ 的图象可能是 (D)

答案： 3.D 原函数先减再增，再减再增，且单调递增区间与单调递减区间的分界点情形只有选项D符合，故选D.

4. 若函数 $f(x)=-\cos x + ax$ 为增函数,则实数 $a$ 的取值范围为 (B)

A.$[-1,+\infty)$
B.$[1,+\infty)$
C.$(-1,+\infty)$
D.$(1,+\infty)$

答案： 4.B 由题意可得，$f^{\prime}(x) = \sin x + a \geq 0$恒成立，故$a \geq -\sin x$恒成立. 因为$-1 \leq -\sin x \leq 1$，所以$a \geq 1$. 故选B.

5. 已知函数 $f(x)=x^3 + ax^2 + bx + c$,$g(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数.若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减,则下列结论正确的是 (D)

A.$a^2 - 3b$ 有最小值 3
B.$a^2 - 3b$ 有最大值 $2\sqrt{3}$
C.$f(0)· f(1)\leqslant0$
D.$g(0)· g(1)\geqslant0$

答案： 5.D 由题意可得$g(x) = f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2ax + b$. 因为$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，所以$g(x) \leq 0$在$(0,1)$上恒成立，即$g(0) \leq 0$，$g(1) \leq 0$，所以$g(0) · g(1) \geq 0$，故选D.

6. 若函数 $f(x)=3x + (a - 2)\ln x$ 在定义域上不单调,则实数 $a$ 的取值范围是 (D)

A.$(-\infty,\frac{1}{2})$
B.$[2,+\infty)$
C.$(0,+\infty)$
D.$(-\infty,2)$

答案： 6.D 函数$f(x) = 3x + (a - 2)\ln x$的定义域为$(0, +\infty)$，$f^{\prime}(x) = 3 + \frac{a - 2}{x}$.
当$a \geq 2$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，函数$f(x)$在定义域上单调递增，不满足题意，舍去，
当$a ＜ 2$时，令$f^{\prime}(x) = 3 + \frac{a - 2}{x} = 0$，解得$x = \frac{2 - a}{3}$，故此时$f(x) = 3x + (a - 2)\ln x$在定义域上不单调.
故实数$a$的取值范围是$(-\infty,2)$.

7. 定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$,对任意的实数 $x$,都有 $f'(x)+1＜0$,且 $f(1)=-1$,则 (B)

A.$f(0)＜0$
B.$f(e)＜-e$
C.$f(e)＞f(0)$
D.$f(2)＞f(1)$

答案： 7.B 构造$g(x) = f(x) + x$，则$g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) + 1$.
又$f^{\prime}(x) + 1 ＜ 0$，所以$g^{\prime}(x) ＜ 0$，所以函数$g(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减.
又$g(1) = f(1) + 1 = -1 + 1 = 0$，所以$g(e) ＜ g(1)$，即$f(e) + e ＜ 0$，所以$f(e) ＜ -e$. 故选B.

8. 已知 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数,其导函数是 $f'(x)$,且当 $x＞0$ 时总有 $xf'(x)＞f(x)$,则下列各项表述正确的是 (D)

A.$2f(1)\geqslant f(2)$
B.$2f(1)＞f(2)$
C.$2f(1)\leqslant f(2)$
D.$2f(1)＜f(2)$

答案： 8.D 设$g(x) = \frac{f(x)}{x}$，则$g^{\prime}(x) = \frac{xf^{\prime}(x) - f(x)}{x^{2}}$，
$\because$当$x ＞ 0$时总有$xf^{\prime}(x) ＞ f(x)$，$\therefore$当$x ＞ 0$时$g^{\prime}(x) ＞ 0$，$\therefore g(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增，
$\therefore g(1) ＜ g(2)$，即$\frac{f(1)}{1} ＜ \frac{f(2)}{2}$，$\therefore 2f(1) ＜ f(2)$，故选D.

9. 下列函数在 $(-\infty,+\infty)$ 上是单调函数的是 (AB)

A.$y = x^3 + x - 1$
B.$y = \sin x - x$
C.$y = xe^x + 1$
D.$y = e^x - x$

答案： 9.AB 对A. $y^{\prime} = 3x^{2} + 1 ＞ 0$，$\therefore y = x^{3} + x - 1$在$(-\infty, +\infty)$上单调递增；对B. $y^{\prime} = \cos x - 1 \leq 0$，$\therefore y = \sin x - x$在$(-\infty, +\infty)$上单调递减；
对C. $y^{\prime} = e^{x} + xe^{x} = e^{x}(x + 1)$，当$x \geq -1$时，$y^{\prime} = e^{x}(x + 1) \geq 0$，函数单调递增，当$x ＜ -1$时，$y^{\prime} = e^{x}(x + 1) ＜ 0$，函数单调递减，故函数在$(-\infty, +\infty)$上不是单调函数；对D. 由$y = e^{x} - x$，得$y^{\prime} = e^{x} - 1$，当$x \geq 0$时，$y^{\prime} = e^{x} - 1 \geq 0$，函数单调递增，当$x ＜ 0$时，$y^{\prime} = e^{x} - 1 ＜ 0$，函数单调递减，故函数在$(-\infty, +\infty)$上不是单调函数，综上可知AB正确.

10. 设 $f(x)$,$g(x)$ 分别是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数和偶函数,$f'(x)$,$g'(x)$ 为其导函数.当 $x＜0$ 时,$f'(x)· g(x)+f(x)· g'(x)＜0$ 且 $g(-3)=0$,则使得不等式 $f(x)· g(x)＜0$ 成立的 $x$ 的取值范围是 (BD)

A.$(-\infty,-3)$
B.$(-3,0)$
C.$(0,3)$
D.$(3,+\infty)$

答案：
10.BD $\because f(x),g(x)$分别是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数和偶函数，$\therefore f(-x) = -f(x),g(-x) = g(x)$，令$h(x) = f(x) · g(x)$，则$h(-x) = -h(x)$，故$h(x) = f(x) · g(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，
$\because$当$x ＜ 0$时，$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) · g(x) + f(x) · g^{\prime}(x) ＜ 0$，$\therefore h(x) = f(x) · g(x)$在区间$(-\infty,0)$上单调递减，

由$g(-3) = 0$，$\therefore h(-3) = -h(3) = 0$，
$\therefore$当$x \in (-3,0) \cup (3, +\infty)$时，$h(x) = f(x) · g(x) ＜ 0$，故选BD.